로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.중간의 다른 편집과 충돌하여 이 편집을 되돌릴 수 없습니다. 스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요![[파일:Cofinal.png|섬네일|오른쪽|300px|<math>\omega</math>와 그의 한 공종 집합을 나타낸 그림. 선 하나는 <math>\le</math> 관계를 나타낸다. 이에서 볼 수 있듯이, <math>\omega</math>, 또는 임의의 가산 집합의 공종 집합은 그 기수가 <math>\aleph_0</math>여야 한다. 또한, '공종'이라는 용어의 의미 역시 알 수 있다, 즉 '같이 끝나는' 집합을 공종 집합이라고 하는 것이다.]] [[수학]]에서, 특히 [[집합론]]이나 [[순서론]]에서, [[반순서집합]](poset) <math>\alpha</math>의 '''공종도'''(共終度, {{영어|cofinality}}, {{일본어|共終数}}, {{중국어|共尾性}}) <math>\operatorname{cf}(\alpha)</math>는 <math>\alpha</math>의 공종 부분집합의 최소(least) 기수를 말한다. 이는 [[서수]]나 [[기수]]가 얼마나 복잡한지를 나타내며, 모든 서수나 기수는 그 공종도에 적절한 연산을 하여 나타낼 수 있다. 또한 공종도를 정의할 때, 기수들의 공 아닌 집합(collection)은 최소원소를 갖는다(well-ordered)는 가정을 하는데, 이는 [[정렬정리]]로 [[선택공리]]와 [[동치]]인 명제이다. 즉, 공종도가 잘 정의되려면 선택공리가 필요하다. == 정의 == <math>A</math>를 이항 연산 <math>\le</math>를 가지고 있는 반순서집합이라고 하자. 만약 다음을 만족하는 <math>A</math>의 부분집합 <math>B\subseteq A</math>가 존재하면 <math>B</math>는 '''공종 집합'''(cofinal set)이라고 한다: : 모든 <math>a \in A</math>에 대하여 <math>a\le b</math>인 <math>b\in B</math>가 존재한다. 이런 <math>B</math>의 기수들을 모아 놓은 집합<ref>분류 공리꼴(Axiom schema of Specification/Comprehension)에 의하여 집합이다.</ref> <math>\mathcal B =\{ |B| \}</math>의 최소원 <math>\lambda</math>를 <math>A</math>의 '''공종도'''라고 한다. === 서수의 경우 === 서수, 특히 [[극한서수]](limit ordinal)의 경우, 동치인 정의가 있다: * <math>\alpha</math>를 극한서수라 하자. 이때 <math>\sup_{i<\lambda} \alpha_i = \alpha</math>인 <math>\langle \alpha_i < \alpha: \, i < \lambda \rangle</math>이 존재하는 <math>\lambda</math> 중 최소의 것을 <math>\alpha</math>의 '''공종도'''라 한다. * 서수 <math>\alpha</math>의 '''공종도'''는 그 공종 집합들의 [[순서형]](order type)들 중 가장 작은 서수이다. ==== 정칙 서수와 특이 서수 ==== <math>\operatorname{cf}(\alpha) = \alpha</math>인 <math>\alpha</math>를 '''정칙 서수'''(regular ordinal)라고 하고, 그렇지 않은 서수를 '''특이 서수'''(singular ordinal)이라고 한다. ''당연하게도'' 모든 정칙 서수는 기수이다. 서수 <math>\alpha</math>에 대하여 다음이 성립한다: * <math> \operatorname{cf}(\alpha) = 0 \Longleftrightarrow \alpha = 0,</math> * <math> \operatorname{cf}(\alpha) = 1 \Longleftrightarrow \alpha \mbox{ is a successor ordinal},</math> * <math> \operatorname{cf}(\alpha) = \omega \Longleftarrow \alpha \mbox{ is countable},</math> * <math> \alpha</math>가 비가산일 때에는 그 공종도가 <math>\omega</math>일 수도 있고 더 클 수도 있다. === 기수의 경우 === 위의 일반적인 정의를 cardinal일 때로 국한하여 다시 서술하면 :<math>\mathrm{cf}(\kappa) = \min \left\{|I| \, \bigg|\, \kappa = \sum_{i \in I} \lambda_i \wedge \forall i \in I(\lambda_i < \kappa)\right\}</math> 이다. 정의에서 <math>\operatorname{cf}(\kappa) < \kappa</math>인 것은 자명하고(<math>\kappa = \bigcup_{i\in\kappa} \{i\} </math>이므로), [[쾨니그 정리]]에 의하면 <math> \kappa< \kappa^{\operatorname{cf}(\kappa)}</math>이고 <math> \kappa< \operatorname{cf}(2^\kappa)</math>이다. '''정칙 기수'''(regular cardinal) 역시 서수와 마찬가지로 <math>\operatorname{cf}(\kappa) = \kappa</math>인 <math>\kappa</math>로 정의되며, 모든 기수 <math>\kappa</math>에 대하여 <math>\operatorname{cf}(\operatorname{cf}(\kappa)) = \operatorname{cf}(\kappa) </math>이다 ― 즉 <math>\operatorname{cf}(\kappa) </math>는 정칙 기수이다. == 예시 == * 극한서수 <math>\alpha</math>에 대하여 <math>\aleph_\alpha=\sum_{\beta<\alpha}\aleph_\beta</math>이므로 <math>\operatorname{cf}(\aleph_\alpha)=\operatorname{cf}(\alpha)</math>이다. * 모든 정칙 서수는 [[알레프 수]]이다. 물론 [[AC]]를 가정하였을 때엔 모든 기수가 알레프 수이므로 의미가 없다. * [[쾨니그 정리]]에 의하면 <math>\aleph_0 < \operatorname{cf}(2^{\aleph_0})</math>이다. 또한 <math>2^{\aleph_0} = \aleph_1</math>([[연속체 가설|CH]]), ..., <math>2^{\aleph_0} = \aleph_n \quad (n < \omega)</math> 등은 모두 ZF(C)와 독립이지만, 반면에 <math>\aleph_\omega = \bigcup_{n < \omega} \aleph_n </math>이고 cofinality의 정의에 의하여 <math>\operatorname{cf}(\aleph_\omega) = |\omega|=\aleph_0</math>이다. 그런데, 쾨니그 정리에 의해, <math>\aleph_0 < \operatorname{cf}(2^{\aleph_0})</math>이므로, 만약 <math>2^{\aleph_0} = \aleph_\omega</math>라면 <math>\aleph_0 < \operatorname{cf}(\aleph_\omega)=\aleph_0</math>이므로 모순이다. 즉, [[ZF]]에서, <math>2^{\aleph_0} \neq\aleph_\omega</math>이다. == 참고문헌 == * Kunen, Kenneth (1980). ''Set Theory: An Introduction to Independence Proofs''. Elsevier. {{ISBN|0-444-86839-9}}. * Hrbacek, Karel; Jech, Thomas (1999). ''Introduction to Set Theory'' (3 ed.). {{ISBN|0-8247-7915-0}}. * Spencer Unger. ''Forcing Summer School Lecture Notes''. http://homepages.math.uic.edu/~shac/forcing/forcing2014.pdf 에서 2016. 01. 19.에 확인함. [[분류:집합론]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:ISBN (원본 보기) (준보호됨)틀:영어 (원본 보기) (준보호됨)틀:영어= (원본 보기) (준보호됨)틀:일본어 (원본 보기) (준보호됨)틀:일본어= (원본 보기) (준보호됨)틀:중국어 (원본 보기) (준보호됨)틀:중국어= (원본 보기) (준보호됨)이 문서는 다음의 숨은 분류 3개에 속해 있습니다: 분류:영어 표기를 포함한 문서 분류:일본어 표기를 포함한 문서 분류:중국어 표기를 포함한 문서