공종도 편집하기

[[분류:집합론]] [[분류:순서론]]

{{학술}}

[[파일:Cofinal.png|섬네일|오른쪽|300px|<math>\omega</math>와 그의 한 공종 집합을 나타낸 그림. 선 하나는 <math>\le</math> 관계를 나타낸다. 이에서 볼 수 있듯이, 모든 <math>\omega</math>, 또는 임의의 가산 집합의 공종 집합은 그 기수가 <math>\aleph_0</math>여야 한다. 또한, '공종'이라는 용어의 의미 역시 알 수 있다, 즉 '같이 끝나는' 집합을 공종 집합이라고 하는 것이다.]]

[[수학]]에서, 특히 [[집합론]]이나 [[순서론]]에서, [[반순서집합]](poset) <math>\alpha</math>의 '''공종도'''({{llang|en|cofinality}}, <small>[[한자]]:&nbsp;</small>共終度, {{llang|ja|共終数}}, {{llang|zh|共尾性}}) <math>\operatorname{cf}(\alpha)</math>는 <math>\alpha</math>의 공종 부분집합의 최소(least) 기수를 말한다. 이는 [[서수]]나 [[기수]]가 얼마나 복잡한지를 나타내며, 모든 서수나 기수는 그 공종도에 적절한 연산을 하여 나타낼 수 있다.

또한 공종도를 정의할 때, 기수들의 공 아닌 집합(collection)은 최소원소를 갖는다(well-ordered)는 가정을 하는데, 이는 [[정렬정리]]로 [[선택공리]]와 [[동치]]인 명제이다. 즉, 공종도가 잘 정의되려면 선택공리가 필요하다.

== 정의 ==
<math>A</math>를 이항 연산 <math>\le</math>를 가지고 있는 반순서집합이라고 하자. 만약 다음을 만족하는 <math>A</math>의 부분집합 <math>B\subseteq A</math>가 존재하면 <math>B</math>는 '''공종 집합'''(cofinal set)이라고 한다: 
: 모든 <math>a \in A</math>에 대하여 <math>a\le b</math>인 <math>b\in  B</math>가 존재한다.
이런 <math>B</math>의 기수들을 모아 놓은 집합<ref>분류 공리꼴(Axiom schema of Specification/Comprehension)에 의하여 집합이다.</ref> <math>\mathcal B =\{ |B| \}</math>의 최소원 <math>\lambda</math>를 <math>A</math>의 '''공종도'''라고 한다.

=== 서수의 경우 ===
서수, 특히 [[극한서수]](limit ordinal)의 경우, 동치인 정의가 있다:
* <math>\alpha</math>를 극한서수라 하자. 이때 <math>\sup_{i<\lambda} \alpha_i = \alpha</math>인 <math>\langle \alpha_i  < \alpha: \, i < \lambda \rangle</math>이 존재하는 <math>\lambda</math> 중 최소의 것을 <math>\alpha</math>의 '''공종도'''라 한다. 
* 서수 <math>\alpha</math>의 '''공종도'''는 그 공종 집합들의 [[순서형]](order type)들 중 가장 작은 서수이다.

==== 정칙 서수와 특이 서수 ====
<math>\operatorname{cf}(\alpha) = \alpha</math>인 <math>\alpha</math>를 '''정칙 서수'''(regular ordinal)라고 하고, 그렇지 않은 서수를 '''특이 서수'''(singular ordinal)이라고 한다. '''당연하게도''' 모든 정칙 서수는 기수이다.

서수 <math>\alpha</math>에 대하여 다음이 성립한다:
* <math> \operatorname{cf}(\alpha) = 0 \Longleftrightarrow \alpha = 0,</math>
* <math> \operatorname{cf}(\alpha) = 1 \Longleftrightarrow \alpha \mbox{ is a successor ordinal},</math>
* <math> \operatorname{cf}(\alpha) = \omega \Longleftarrow \alpha \mbox{ is countable},</math>
* <math> \alpha</math>가 비가산일 때에는 그 공종도가 <math>\omega</math>일 수도 있고 더 클 수도 있다.

=== 기수의 경우 ===
위의 일반적인 정의를 cardinal일 때로 국한하여 다시 서술하면
:<math>\mathrm{cf}(\kappa) = \min \left\{|I| \, \bigg|\, \kappa = \sum_{i \in I} \lambda_i \wedge  \forall i \in I(\lambda_i < \kappa)\right\}</math>
이다. 정의에서 <math>\operatorname{cf}(\kappa) < \kappa</math>인 것은 자명하고(<math>\kappa = \bigcup_{i\in\kappa} \{i\} </math>이므로), [[쾨니그 정리]]에 의하면 <math> \kappa< \kappa^{\operatorname{cf}(\kappa)}</math>이고 <math> \kappa< \operatorname{cf}(2^\kappa)</math>이다.

'''정칙 기수'''(regular cardinal) 역시 서수와 마찬가지로 <math>\operatorname{cf}(\kappa) = \kappa</math>인 <math>\kappa</math>로 정의되며, 모든 기수 <math>\kappa</math>에 대하여 <math>\operatorname{cf}(\operatorname{cf}(\kappa)) = \operatorname{cf}(\kappa) </math>이다 ― 즉 <math>\operatorname{cf}(\kappa) </math>는 정칙 기수이다.

== 예시 ==
* 극한서수 <math>\alpha</math>에 대하여 <math>\aleph_\alpha=\sum_{\beta<\alpha}\aleph_\beta</math>이므로 <math>\operatorname{cf}(\aleph_\alpha)=\operatorname{cf}(\alpha)</math>이다.
* 모든 정칙 서수는 [[알레프 수]]이다. 물론 [[AC]]를 가정하였을 때엔 모든 기수가 알레프 수이므로 의미가 없다.
* [[쾨니그 정리]]에 의하면 <math>\aleph_0 < \operatorname{cf}(2^{\aleph_0})</math>이다. 또한 <math>2^{\aleph_0} = \aleph_1</math>([[연속체 가설|CH]]), ..., <math>2^{\aleph_0} = \aleph_n \quad (n < \omega)</math> 등은 모두 ZF(C)와 독립이지만, 반면에 <math>\aleph_\omega = \bigcup_{n < \omega} \aleph_n </math>이고 cofinality의 정의에 의하여 <math>\operatorname{cf}(\aleph_\omega) = |\omega|=\aleph_0</math>이다. 그런데, 쾨니그 정리에 의해, <math>\aleph_0 < \operatorname{cf}(2^{\aleph_0})</math>이므로, 만약 <math>2^{\aleph_0} = \aleph_\omega</math>라면 <math>\aleph_0 < \operatorname{cf}(\aleph_\omega)=\aleph_0</math>이므로 모순이다. 즉, [[ZF]]에서, <math>2^{\aleph_0} \neq\aleph_\omega</math>이다.

== 참고문헌 ==
* Kunen, Kenneth (1980). ''Set Theory: An Introduction to Independence Proofs''. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.
* Hrbacek, Karel; Jech, Thomas (1999). ''Introduction to Set Theory'' (3 ed.). ISBN 0-8247-7915-0.
* Spencer Unger. ''Forcing Summer School Lecture Notes''. http://homepages.math.uic.edu/~shac/forcing/forcing2014.pdf 에서 2016. 01. 19.에 확인함.