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| | {{학술}} |
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| 階乘, Factorial, 팩토리얼, ! | | 階乘, Factorial, 팩토리얼, ! |
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| == 정의 == | | == 정의 == |
| 일단 감마함수를 이용하여 <math>\displaystyle x!=\Gamma\left ( x+1 \right )=\int_{0}^{\infty}{a}^{x}{e}^{-a}da</math> 이렇게 정의한다.<br />
| | 계승이라는 엄연한 한국어 단어가 존재함에도 불구하고 "팩토리얼"이나 "팩"이라고 읽히는 수학 개념. 어떤 자연수 \(n\)에 대해, \(n\)의 '''계승'''은 1부터 \(n\)까지의 모든 자연수를 곱한 값이며, 기호로는 느낌표를 붙여 \(n!\)로 표기한다. 즉, <math>n!=1\times2\times3\times\cdots\times n</math>. 미지수 앞에 계수가 있을 경우 [[괄호]] 표기를 잘 해줘야 하는데, \(2n!\)이라는 것이 있으면 이게 <math>2\times n!</math>인지 <math>\left(2n!\right)</math>인지 헷갈리기 때문. 일단 괄호가 없다면 전자로 해석하는 것이 옳다. |
| 계승이라는 엄연한 한국어 단어가 존재함에도 불구하고 "팩토리얼"이나 "팩"이라고 읽히는 수학 개념. 어떤 자연수 <math>n</math>에 대해, <math>n</math>의 '''계승'''은 1부터 <math>n</math>까지의 모든 자연수를 곱한 값이며, 기호로는 느낌표를 붙여 <math>n!</math>로 표기한다. | |
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| 즉, <math>n!=1\times2\times3\times\cdots\times n</math>. 미지수 앞에 계수가 있을 경우 [[괄호]] 표기를 잘 해줘야 하는데, <math>2n!</math>이라는 것이 있으면 이게 <math>2\times (n!)</math>인지 <math>\left(2n\right)!</math>인지 헷갈리기 때문. | |
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| 일단 괄호가 없다면 전자로 해석하는 것이 옳다. | |
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| 일반화를 너무나도 좋아하시는 [[수학자]]들에 의해 <math>n</math>이 [[자연수]]가 아닐 경우에 대해서도 확장이 되어 있다. 고등학교에서도 배우는 것은 바로 <math>0!=1</math>. 1부터 0까지 곱한 것이 어떻게 1이 되냐고 물을 수 있지만, 아무것도 곱하지 않은 상태이므로 1이라고 생각하면 된다 (<math>a^0=1</math> 처럼). 그리고 <math>0!=1</math>으로 정의하면 [[조합론]]에서 몇몇 정의가 자연스러워 진다. 대표적으로 [[순열]]이나 [[조합]]. 예를 들어, <math>n</math>개 중에서 <math>n</math>개를 순서에 상관없이 뽑는 방법은 당연히 1개이다. 이를 [[조합]] 공식으로 쓰면 <math>\displaystyle \binom{n}{n}=\frac{n!}{n!0!}=\frac{1}{0!}=1</math>이므로, <math>0!=1</math>로 정의하면 자연스러워 진다. 0도 [[자연수]]도 아닌 경우에는 [[감마 함수]]를 이용하며, 자세한 것은 항목을 참조.
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| ==생성함수==
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| :<math>n!=\prod_{k=1}^nk=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdots\cdot3\cdot2\cdot1</math>
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| ==예==
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| 팩토리얼(<math>factorial</math>)은 다음과 같은 성질을 갖는다.
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| :<math> n! = (n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-n+2)\cdot (n-n+1) </math>
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| :<math> n! = (n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-(n-2))\cdot(n-(n-1)) </math>
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| :<math> n! = (n-0)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-(n-1)+1)\cdot(n-(n-0)+1)</math>
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| :<math> 1! = (1)=(1-1+1)=(1-(1-1))=(1-(1-0)+1)=1</math>
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| ==예2==
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| 다음 일반적인 팩토리얼의 성질들은 <math>0!</math>과 중복없는 [[순열]](비 중복순열)을 조사항수있다.
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| :<math> n! = (n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-n+2)\cdot (n-n+1)\;\;,\; (0< k\le n) </math>
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| ::<math> {}_{n}P_{k} =(n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot(n-k+2)\cdot (n-k+1) </math>
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| ::<math>{}_{n}P_{k} = {}_{n}P_{k} \times { {(n-k)!} \over {(n-k)!} } </math>
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| ::<math> {}_{n}P_{k} ={{ {}_{n}P_{k} \times (n-k)!} \over{(n-k)!} } </math>
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| ::<math>\therefore\; {}_{n}P_{k} ={{n!} \over{(n-k)!} } </math>
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| :<math>k=n\;,\; </math>
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| ::<math> {}_{n}P_{k} =(n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot(n-k+2)\cdot (n-k+1) </math>
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| ::<math> {}_{n}P_{n} = (n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-n+2)\cdot (n-n+1)=n! </math>
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| :<math> {}_{n}P_{n} ={{n!} \over{(n-n)!} } </math>
| | 일반화를 너무나도 좋아하시는 [[수학자]]들에 의해 \(n\)이 [[자연수]]가 아닐 경우에 대해서도 확장이 되어 있다. 고등학교에서도 배우는 것은 바로 \(0!=1\). 1부터 0까지 곱한 것이 어떻게 1이 되냐고 물을 수 있지만, 아무 것도 곱하지 않은 상태이므로 1이라고 생각하면 된다 (\(a^0=1\) 처럼). 그리고 \(0!=1\)으로 정의하면 [[조합론]]에서 몇몇 정의가 자연스러워 진다. 대표적으로 [[순열]]이나 [[조합]]. 예를들어, \(n\)개 중에서 \(n\)개를 순서에 상관없이 뽑는 방법은 당연히 1개이다. 이를 [[조합]] 공식으로 쓰면 <math>\binom{n}{n}=\frac{n!}{n!0!}=\frac{1}{0!}=1</math>이므로, \(0!=1\)로 정의하면 자연스러워 진다. 0도 [[자연수]]도 아닌 경우에는 [[감마 함수]]를 이용하며, 자세한 것은 항목을 참조. |
| ::<math> {}_{n}P_{n} ={{n!} \over{0!} } </math>
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| ::<math> {0!} ={{n!} \over {{}_{n}P_{n}} } </math>
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| :<math>\therefore\; {0!} ={{n!} \over {n!} } \;\;(\because\;{}_{n}P_{n} ={{n!} } )</math>
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| :<math> {0!} ={1\over 1 } </math>
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| :<math> {0!} =1 </math>
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| ==관련항목== | |
| *[[자연상수]]
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| [[분류:산술]][[분류:정수론]] | | [[분류:산술]][[분류:정수론]] |
