거리공간 편집하기


== 정의 ==
<math>X</math>를 [[집합]]이라 하고 <math>d</math>를 <math>X\times X</math>로부터 0 이상의 [[실수]]의 집합 <math>\mathbb{R}^+</math>로의 [[함수]]라고 하자. 임의의 <math>x,y,z\in X</math>에 대해 다음 조건
: (1) <math>d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y</math>
: (2) <math>d(x,y)=d(y,x)</math>
: (3) <math>d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)</math>
을 만족하면 <math>d:X\times X\to \mathbb{R}^+</math>를 ''X'' 위의 '''거리(metric)''', 또는 '''거리함수(distance function)'''라고 한다. 그리고 <math>d(x,y)</math>를 ''x''에서 ''y''까지의 '''거리(distance)'''라고 한다.{{ㅊ|뭐여 함수도 거리라며}} 거리함수 ''d''가 주어진 집합 ''X''는 '''거리공간(metric space)'''이라고 하고 <math>(X,d)</math>라고 표기한다.

참고로 영어 단어 metric과 distance는 모두 "거리"라고 번역되는데, 엄밀하게 따지면 distance는 거리 값을 나타내는 스칼라, metric은 미분기하학적 측면에선 [[텐서]]이다.

== 예시 ==
* <math>\mathbb{R}^n</math>에서 <math>\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots, x_n),\mathbf{y}=(y_1,y_2,\cdots,y_n)</math>라 하면 <math>(\mathbb{R}^n,d_2),(\mathbb{R}^n,d_1),(\mathbb{R}^n,d_\infty)</math>는 거리공간이다. 이때
** <math>d_2(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}</math>
** <math>d_1(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sum_{i=1}^n|x_i-y_i|</math>
** <math>d_\infty(\mathbf{x},\mathbf{y})=\max\{|x_i-y_i|: i=1,2,\cdots, n\}</math>
* 임의의 집합 <math>X</math>의 원소 <math>x,y</math>에 대해 <math>d(x,y)=\begin{cases}
1, &x\ne y\\
0, &x=y
\end{cases}</math>로 정의하자. 그러면 <math>(X,d)</math>는 거리공간이다.
* <math>\mathcal{C}[a,b]</math>를 <math>[a,b]</math>에서 [[연속함수|연속]]인 실함수라고 하자. 그러면 다음 함수 <math>d,d'</math>는 <math>\mathcal{C}[a,b]</math>의 거리함수이다.
** <math>d(f,g)=\int_a^b |f(x)-g(x)|dx</math>
** <math>d'(f,g)=\inf\{|f(x)-g(x)|:x\in [a,b]\}</math>

== 점과 집합 사이의 거리 ==
<math>(X,d)</math>를 거리공간이라 하고, <math>A</math>는 <math>X</math>의 공집합이 아닌 부분집합이며, <math>x</math>는 <math>X</math>의 원소라고 하자. <math>x</math>에서 <math>A</math>까지의 거리 <math>d(x,A)</math>는
: <math>d(x,A)=\sup\{d(x,y): y\in A\}</math>
로 정의한다.

== 지름 ==
{{참고|지름}}
<math>(X,d)</math>가 거리공간이고 <math>A</math>를 <math>X</math>의 공집합이 아닌 부분집합이라고 하자. 만약 <math>\{d(x,y):x,y\in A\}</math>가 상계를 가지면 <math>A</math>를 유계집합(bounded set)이라고 하며
: <math>\sup\{d(x,y):x,y\in A\}</math>
를 <math>A</math>의 지름(diameter)이라고 한다. [[공집합]]의 지름은 [[0]]으로 정의한다. 만약 <math>X</math>가 유계이면, <math>(X,d)</math>를 유계거리공간이라고 한다.

== 열린 집합과 닫힌 집합 ==
거리공간 <math>X,d</math>에서 <math>a\in X</math>, <math>r > 0</math>이 주어졌다고 하자. 다음 집합
: <math>B_d(a, r)=\{ x\in X : d(x,a)< r\}</math>
을 중심이 <math>a</math>이고 반지름이 <math>r</math>인 열린 공(open ball)이라고 한다. 그리고 집합
: <math>B_d[a, r]=\{ x\in X : d(x,a)\le r\}</math>
을 중심이 <math>a</math>이고 반지름이 <math>r</math>인 닫힌 공(open ball)이라고 한다. 거리함수를 하나만 다루어 혼동을 일으킬 염려가 없다면 단순히 <math>B(a,r), B[a,r]</math>로 표기한다.

<math>(\mathbb{R}^2,d)</math>에서 <math>d</math>의 정의에 따라 공 <math>B(\mathbf{0},1)</math>의 모습이 달라지는 것을 관찰해보자.

{| class="wikitable"
! 보통거리<br /><math>d(\mathbf{a},\mathbf{b})=\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2}</math>
! 택시거리<br /><math>d(\mathbf{a},\mathbf{b})=|a_1-b_1|+|a_2-b_2|</math>
|-
| [[파일:usualmetricopenball.png]]
| [[파일:taxicabmetricopenball.png]]
|-
! 최댓값거리<br /><math>d(\mathbf{a},\mathbf{b})=\max\{|a_1-b_1|,|a_2-b_2|\}</math>
! 이산거리<br /><math>d(\mathbf{a},\mathbf{b})=\begin{cases}
0, &\mathbf{a}=\mathbf{b}\\
1, &\mathbf{a}\ne\mathbf{b}
\end{cases}</math>
|-
| [[파일:maxmetricopenball.png]]
| [[파일:discretemetricopenball.png]]
|}

만약 <math>(X,d)</math>의 부분집합 <math>O</math>가 열린 공의 합집합으로 주어지면 <math>O</math>를 거리함수 <math>d</math>에 대해 열린 집합이라고 한다. 그리고 <math>(X,d)</math>의 부분집합 <math>C</math>에 대해 <math>X\setminus C</math>가 <math>d</math>에 대해 열린 집합이면 <math>C</math>를 <math>d</math>에 대해 닫힌 집합이라고 한다.

거리공간 <math>(X,d)</math>에서 다음 성질이 성립한다.
* <math>X</math>와 <math>\emptyset</math>은 열린 집합이다.
* 열린 집합의 합집합은 열린 집합이다.
* 유한 개 열린 집합의 교집합은 열린 집합이다.

== 수열의 극한 ==
{{참고|수열의 극한}}
<math>(X,d)</math>가 거리공간이고 <math>(x_n)</math>을 ''X''의 점열이라고 하자. 임의의 실수 <math>\varepsilon > 0</math>에 대해 적당한 <math>N\in \mathbb{N}</math>이 존재하여 모든 <math>n > N \left(n\in\mathbb{N}\right)</math>에 대해 <math>d \left( x_n , x \right) < \varepsilon</math>일 때, <math>(x_n)</math>은 ''x''에 수렴한다고 한다.

거리공간에서 수렴하는 수열의 극한값은 유일하다. <math>X</math>에서 수렴하는 수열 <math>(x_n)</math>의 극한값을 <math>\alpha,\beta</math>라고 하자. 그러면 임의의 <math>\varepsilon > 0</math>에 대해 적당한 <math>N_1, N_2 \in \mathbb{N}</math>이 존재해 모든 <math> n > \max\{N_1,N_2\}</math>에 대해 <math>d (x_n, \alpha) < \frac{\varepsilon}{2}</math>이고 <math>d (x_n,\beta)<\frac{\varepsilon}{2}</math>이다. 그러면 거리함수의 정의에 의해
: <math>d(\alpha,\beta) \le d(\alpha, x_n)+d(x_n,\beta) < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon</math>
이다. <math>\varepsilon</math>이 임의의 양수이므로 <math>d(\alpha,\beta)=0</math>, 즉 <math>\alpha=\beta</math>임을 안다.

== 연속함수 ==
{{참고|연속함수}}
<math>f:(X,d)\to (Y,d')</math>를 거리공간 <math>(X,d)</math>에서 <math>(Y,d')</math>로의 함수이고, <math>a\in X</math>라고 하자. 이때 임의의 <math>\varepsilon >0</math>에 대해 <math>\delta >0</math>이 존재해 임의의 <math>x\in X</math>에 대해 <math>d(x,a)<\delta</math>이면 <math>d(f(x),f(a))<\varepsilon</math>일 때, <math>f</math>는 <math>a</math>에서 연속이라고 한다.

== 동등한 거리공간 ==
=== 거리동형 ===
{{참고|등거리사상}}
거리공간 <math>(X,d), (Y,d')</math>에 대해 [[일대일 대응]] <math>f:X\to Y</math>가 존재해 임의의 <math>a,b\in X</math>에 대해
: <math>d(a,b)=d'(f(a),f(b))</math>
이면 <math>(X,d), (Y,d')</math>는 거리동형(metrically equivalent) 또는 등거리(isometric)라고 하고, <math>f</math>는 등거리사상(isometry)이라고 한다.

=== 위상동형 ===
{{참고|위상동형사상}}
거리공간 <math>(X,d), (Y,d')</math>에 대해 [[일대일 대응]] <math>f:X\to Y</math>가 존재해 <math>f</math>와 그 [[역함수]] <math>f^{-1}</math>이 [[연속함수|연속]]이면 <math>X,Y</math>는 위상적으로 동치(topologically equivalent), 또는 위상동형(homeomorphic)이라고 하고, f는 위상동형사상(homeomorphism)이라고 한다.

== 완비거리공간 ==
{{참고|완비거리공간}}
거리공간 <math>(X,d)</math>에서 <math>X</math>의 모든 [[코시수열]]이 <math>X</math>의 점으로 수렴하면 <math>(X,d)</math>를 완비거리공간(complete metric space)이라고 한다.

== 부분공간 ==
<math>(X,d)</math>를 거리공간이라 하고 <math>Y</math>를 <math>X</math>의 부분집합이라 하자. <math>d':Y\times Y \to \mathbb{R}</math>을
: <math>d'(x,y)=d(x,y)\text{ for all }x,y\in Y</math>
로 두면 <math>(Y,d')</math>는 거리공간이다. 이때 <math>(Y,d')</math>를 <math>(X,d)</math>의 부분공간(subspace)이라고 한다.

== 위상적 성질 ==
거리공간은 다음 [[위상적 성질]]을 가진다.
* 모든 거리공간은 [[제1가산공간]]이다.
거리공간 <math>(X,d)</math>의 임의의 점 <math>a</math>에서 열린 공의 모임
: <math>\mathcal{B}_a=\left\{B\left(a,\frac{1}{n}\right): n\in \mathbb{N}\right\}</math>
이 [[가산집합]]이고 <math>a</math>가 <math>\mathcal{B}_a</math>의 임의의 원소의 원소임은 명백하다. 이제 <math>a</math>를 포함하는 열린 집합 <math>O</math>를 하나 생각하자. <math>O</math>가 열린 집합이므로, <math>B(a,\varepsilon)</math>가 <math>O</math>의 부분집합이 되도록 하는 <math>\varepsilon>0</math>이 존재한다. 그러면 [[아르키메데스의 원리]]에 의해 <math>n >\frac{1}{\varepsilon}</math>인 자연수 <math>n</math>이 존재하고
: <math>B\left(a,\frac{1}{n}\right) \subseteq B(a,\varepsilon)\subseteq O</math>
이다. 따라서 <math>\mathcal{B}_a</math>가 가산국소기저이므로 원하는 결론을 얻는다.
* 모든 거리공간은 [[하우스도르프 공간]]이다.
거리공간 <math>(X,d)</math>의 임의의 원소 <math>a,b</math>에 대해 열린 공 <math>B\left(a,\frac{1}{2}d(a,b)\right),B\left(b,\frac{1}{2}d(a,b)\right)</math>을 설정하면 두 집합은 각각 <math>a,b</math>를 포함하고 서로소이다. 따라서 원하는 결론을 얻는다.
* [[분해가능 공간|분해가능]]한 거리공간은 [[제2가산공간]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[택시 기하학]]

== 참고문헌 ==
* Croom, F. (1989). ''Principles of topology''. Philadelphia: Saunders College Pub. {{ISBN|9812432884}}

[[분류:해석학]]
[[분류:위상수학]]