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[[수열의 극한]]과 대체로 비슷하다. #임의의 <math>\varepsilon>0</math>에 대해, 적당한 <math>\delta_1>0</math>이 존재하여 <math>0<\left|x-c\right|<\delta_1</math>이면 <math>\left|f\left(x\right)-L_1\right|<\frac{\varepsilon}{2}</math>이다. 또한, 적당한 <math>\delta_2>0</math>이 존재하여 <math>0<\left|x-c\right|<\delta_2</math>이면 <math>\left|g\left(x\right)-L_2\right|<\frac{\varepsilon}{2}</math>이다. 이제 <math>\delta=\min\left(\delta_1,\delta_2\right)</math>라 하자. 그럼 <math>0<\left|x-c\right|<\delta</math>이면, <math>\left|f\left(x\right)+g\left(x\right)-L_1-L_2\right|\leq\left|f\left(x\right)-L_1\right|+\left|g\left(x\right)-L_2\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon</math>이다. #<math>g</math>가 <math>x=c</math>에서 수렴하므로, 적당한 <math>\delta_1>0</math>에 대해 <math>g</math>는 <math>N^*_{\delta_1}\left(c\right)</math>에서 [[유계]]이다. 즉, 적당한 <math>M>0</math>에 대해 <math>\left|g\left(x\right)\right|< M,\,\forall x\in N^*_{\delta_1}\left(c\right)</math>. 또한, 적당한 <math>\delta_2>0</math>이 존재하여 <math>0<\left|x-c\right|<\delta_2</math>이면 <math>\left|f\left(x\right)-L_1\right|<\frac{\varepsilon}{2M}</math>이다. 그리고 적당한 <math>\delta_3>0</math>이 존재하여 <math>0<\left|x-c\right|<\delta_3</math>이면 <math>\left|g\left(x\right)-L_2\right|<\frac{\varepsilon}{2\left|L_1\right|+1}</math>이다. 이제 <math>\delta=\min\left(\delta_1,\delta_2,\delta_3\right)</math>로 정의하자. 그럼 <math>0<\left|x-c\right|<\delta</math>이면, <math>\left|f\left(x\right)g\left(x\right)-L_1L_2\right|=\left|f\left(x\right)g\left(x\right)-L_1g\left(x\right)+L_1g\left(x\right)-L_1L_2\right|\leq\left|f\left(x\right)g\left(x\right)-L_1g\left(x\right)\right|+\left|L_1g\left(x\right)-L_1L_2\right|</math><br /><math>=\left|g\left(x\right)\right|\left|f\left(x\right)-L_1\right|+\left|L_1\right|\left|g\left(x\right)-L_2\right|< M\cdot\frac{\varepsilon}{2M}+\left|L_1\right|\cdot\frac{\varepsilon}{2\left|L_1\right|+1}<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon</math>이다. #<math>L_2\neq0</math>이므로, 적당한 <math>\delta_1>0</math>에 대해 <math>0<\left|x-c\right|<\delta_1</math>이면 <math>\left|g\left(x\right)-L_2\right|<\frac{\left|L_2\right|}{2}</math>이다. 이를 삼각부등식을 활용해 잘 전개해 주면, <math>\left|g\left(x\right)\right|>\frac{\left|L_2\right|}{2}</math>를 얻는다. 이제 임의의 <math>\varepsilon>0</math>에 대해 적당한 <math>\delta_2>0</math>이 존재하여 <math>0<\left|x-c\right|<\delta_2</math>이면 <math>\left|g\left(x\right)-L_2\right|<\frac{\left|L_2\right|^2}{2}\varepsilon</math>이다. 이제 <math>\delta=\min\left(\delta_1,\delta_2\right)</math>라 하자. 그럼 <math>0<\left|x-c\right|<\delta</math>이면, <math>\left|\frac{1}{g\left(x\right)}-\frac{1}{L_2}\right|=\frac{1}{\left|L_2g\left(x\right)\right|}\left|g\left(x\right)-L_2\right|\leq\frac{2}{\left|L_2\right|^2}\frac{\left|L_2\right|^2}{2}\varepsilon=\varepsilon</math>이다. 위 세 기본 연산을 사용하면 아래 세 따름정리를 증명할 수 있다. 증명은 생략한다. #<math>\lim_{x\to c}kf\left(x\right)=kL_1,\,k\in\mathbb{R}</math> #<math>\lim_{x\to c}f\left(x\right)-g\left(x\right)=L_1-L_2</math> #<math>\lim_{x\to c}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{L_1}{L_2},\text{ if }L_2\neq0</math> === 크기 비교 === 어떤 두 함수에 대해 한 함수가 다른 함수보다 항상 크다고 하자. 그럼 직관적으로 극한값도 큰 쪽의 함수가 더 클 것이다. 좀 더 엄밀하게 나타내면 다음과 같다. <math>\lim_{x\to c}f\left(x\right)=L_1,\,\lim_{x\to c}g\left(x\right)=L_2</math>이고, 적당한 <math>\delta>0</math>에 대해 <math>f\left(x\right)\leq g\left(x\right),\,\forall x\in N^*_{\delta}\left(c\right)</math>이면, <math>L_1\leq L_2</math>이다. :[[귀류법]]을 사용한다. 즉, <math>L_1> L_2</math>라 가정한다. 그럼 <math>\lim_{x\to c}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]=L_1-L_2>0</math>이므로, <math>\varepsilon=\frac{1}{2}\left(L_1-L_2\right)</math>에 대해 적당한 <math>\hat{\delta}</math>이 존재하여 <math>x\in N^*_{\hat{\delta}}\left(c\right)</math>이면 <math>\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)-\left(L_1-L_2\right)\right|<\varepsilon=\frac{1}{2}\left(L_1-L_2\right)</math>이다. [[절댓값]]을 풀어주면, <math>\frac{1}{2}\left(L_1-L_2\right)< f\left(x\right)-g\left(x\right)<\frac{3}{2}\left(L_1-L_2\right)</math>이다. 이 때, 좌변은 양수이므로, <math>f\left(x\right)-g\left(x\right)>0</math>이고, 이는 모순이다. 따라서 <math>L_1\leq L_2</math>이다. === 수열과 함수 === 함수의 극한을 배우기 전에는 보통 [[수열의 극한]]을 먼저 배운다. 여기에는 이유가 있는데, 함수의 극한을 수열의 극한으로 바꾸어 줄 수 있기 때문. 자세한 명제는 다음과 같다. <math>\lim_{x\to c}f\left(x\right)=L</math>은 <math>f</math>의 정의역에 존재하는 <math>\lim_{n\to\infty}x_n=c,\,x_n\neq c,\,\forall n\in\mathbb{N}</math>인 모든 [[수열]] <math>\left\{x_n\right\}</math>에 대해 <math>\lim_{n\to\infty}f\left(x_n\right)=L</math>인 것과 동치이다. 증명은 다음과 같다. :먼저 <math>\lim_{x\to c}f\left(x\right)=L</math>이고, <math>f</math>의 정의역 내의 수열 <math>\left\{x_n\right\}</math>이 <math>\lim_{n\to\infty}x_n=c,\,x_n\neq c,\,\forall n\in\mathbb{N}</math>라고 가정하자. 이제 임의의 <math>\varepsilon>0</math>에 대해, 적당한 <math>\delta>0></math>이 존재하여 <math>0<\left|x-c\right|<\delta</math>이면 <math>\left|f\left(x\right)-L\right|<\varepsilon</math>이다. 또한, 적당한 자연수 <math>N</math>이 존재하여 <math>n> N</math>이면 <math>0<\left|x_n-c\right|<\delta</math>이다. 따라서, <math>n> N</math>이면 <math>\left|f\left(x_n\right)-L\right|<\varepsilon</math>이고, 이는 곧 <math>\lim_{n\to\infty}f\left(x_n\right)=L</math>이다. :역으로, <math>\lim_{x\to c}f\left(x\right)\neq L</math>라 가정하자. 그럼 임의의 <math>\delta>0</math>에 대해 <math>x\in N^*_{\delta}\left(c\right)</math>이고 <math>\left|f\left(x\right)-L\right|\geq\varepsilon</math>를 만족하는 <math>\varepsilon>0</math>이 존재한다. 이제 각 자연수 <math>n</math>에 대해 <math>x_n</math>을 <math>x_n\in N^*_{1/n}\left(c\right)</math>이고 <math>\left|f\left(x_n\right)-L\right|\geq\varepsilon</math>이 되게 뽑는다. 그럼 각 자연수 <math>n</math>에 대해 <math>0<\left|x-c\right|<1/n</math>이고 <math>\left|f\left(x_n\right)-L\right|\geq\varepsilon</math>이다. 명백히, <math>\lim_{n\to\infty}x_n=c,\,x_n\neq c,\,\forall n\in\mathbb{N}</math>인데 <math>\lim_{n\to\infty}f\left(x_n\right)\neq L</math>이다. === 샌드위치 정리 === 세 함수 <math>f,g,h</math>에 대해 <math>\lim_{x\to c}f\left(x\right)=\lim_{x\to c}h\left(x\right)=L</math>이고, <math>f\left(x\right)\leq g\left(x\right)\leq h\left(x\right)</math>이면 <math>\lim_{x\to c}g\left(x\right)=L</math>이라는 정리. 고등학교에서 <math>\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1</math>을 증명할 때 한 번 쯤은 다들 보았을 것이다. 샌드위치라는 이름은 마치 세 함수가 샌드위치처럼 끼어서 한 극한값을 유도하기 때문에 붙여진 이름. 영미권에서도 샌드위치 정리라 부른다. :임의의 <math>\varepsilon>0</math>에 대해 적당한 <math>\delta_1>0</math>이 존재하여 <math>0<\left|x-c\right|<\delta_1</math>이면 <math>\left|f\left(x\right)-L\right|<\varepsilon</math>이다. 마찬가지로, 적당한 <math>\delta_2>0</math>이 존재하여 <math>0<\left|x-c\right|<\delta_2</math>이면 <math>\left|h\left(x\right)-L\right|<\varepsilon</math>이다. 이제 <math>\delta=\min\left(\delta_1,\delta_2\right)</math>라 하자. 그럼 <math>0<\left|x-c\right|<\delta</math>일 때, <math>\left|f\left(x\right)-L\right|<\varepsilon,\,\left|h\left(x\right)-L\right|<\varepsilon</math>이다. 각 부등식에서, <math>-\varepsilon< f\left(x\right)-L,\,h\left(x\right)-L<\varepsilon</math>이다. 한편, <math>f\left(x\right)\leq g\left(x\right)\leq h\left(x\right)</math>이므로, <math>-\varepsilon< f\left(x\right)-L\leq g\left(x\right)-L \leq h\left(x\right)-L<\varepsilon</math>이고, 이는 곧 <math>\left|g\left(x\right)-L\right|<\varepsilon</math>을 의미한다. 따라서 <math>\lim_{x\to c}g\left(x\right)=L</math>. {{각주}} [[분류:해석학]] [[분류:함수]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț