로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!== 유일성 (Uniqueness) == 어떤 것의 유일성(uniqueness)이란 그냥 존재하는 어떤 것이 유일하다(unique)는 말을 바꿔 말한 것이다. ○○이 유일하다 = ○○이 유일함 = ○○의 유일 = ○○의 유일성 다 같은 말로 보면 된다.<ref>물론 유일'''성'''이라고 하였으므로 ‘유일한지 아닌지’의 뜻으로 쓸 수도 있다.</ref> 뭔가 전문적인 것 같지만 전혀 그렇지 않다. 유일성을 증명한다는 것은 그게 진짜로 유일하다고 따져 가며 설명한다는 뜻이고, 유일성이 부정된다고 하면 여러 개가 있다는 뜻이다. 다만 당연히 유일성은 일단 존재성이 보장된 뒤에 고려해야 한다. 즉, 앞서 말한 ‘유일하다’는 엄밀히 말하면 ‘유일하게 존재한다’는 뜻이고, 유일성이란 ‘존재의 유일성’을 말하는 것이다. 그런데 그렇다고 해서 ‘유일하게 존재함’을 유일성이라고 해 버리면 존재성이 유일성에 포함되는 개념이 돼 버린다는 문제가 있다……. 그래서 ‘유일하게 존재함’에서 ‘존재함’ 부분은 오로지 존재성의 영역으로 넘기고, i) 존재하는 ○○에 대해 그게 ‘유일하게’ 존재하는지, 혹은 ii) (존재하는지 아닌지는 아직 모르는데)혹시 존재한다고 가정하면 그게 ‘유일하게’ 존재하는지를 보통 ‘유일성’이라고 한다.<ref>앞서 유일성은 일단 존재한 뒤에 문제된다고 한 것과 배치된다고 생각할 수도 있는데, 꼭 그렇게 생각할 것만은 아니다. 어떤 것이 항상 존재하지는 않더라도 존재하는 경우를 구할 수 있는 경우가 있고, 그 경우에는 이 증명이 유효할 것이기 때문이다.</ref> 즉 유일성의 증명에서 존재성은 가정된다. 쉽게 말해 유일성이 궁금하면 '''“존재하면 유일하냐?”'''라고 물어 보면 된다. 예를 들어 방정식의 해의 유일성이 궁금하면 “[[해#해(解)|해]]가 존재하면 유일하냐?”라고 물어 보면 된다. {{--|[[태양계]]에는 [[태양|해]]가 하나뿐}} 예를 들어 우리는 “일차[[방정식]] <math>ax+b=0</math>의 해는 유일하다 (단, <math>a\neq0</math>)”라는 점을 중학교 때 배워 알고 있다. 한편, 존재하는 어떤 것이 유일한 경우에만 의미가 있는 것은 아니다. 예를 들어 이차방정식 <math>ax^2+bx+c=0</math>(단, <math>a\neq0</math>)의 경우 우리는 그 해가 서로 다른 두 실근, 서로 다른 두 허근 혹은 중근(서로 같은 두 실근)의 어느 하나의 경우로 됨을 고등학교 때 배워 알고 있다. 이때 해는 유일하지는 않지만 {{--|유이하며}} 언제나 꼭 두 개가 존재하며, 그보다 적지도 않고 그보다 많지도 않다. 이런 내용도 대충 유일성이라고 하기도 한다. 즉 유일성에서는 “존재하면 몇 개나 존재해? 하나? 둘? 무수히 많아?”와 같은 질문을 한다고 생각할 수 있겠다. 존재성을 보이는 데에는 여러 가지 증명 방법이 쓰이는 반면, 유일성을 보이는 방법은 [[귀류법]]이 많이 사용된다. 자세히 설명하자면, '''서로 다른''' 두 해가 존재한다고 가정한 뒤, 두 해가 실은 같음을 보여 모순을 이끌어낸다. 아래 예시를 통해 귀류법이 어떻게 쓰이는지 자세히 확인해 보자. {{인용문|일차 방정식 <math>2x+4=0</math>의 근이 유일함을 보여라.}} {{인용문2|답이 -2 하나밖에 없음은 모두 알고 있다. 이제 그 답이 유일하다는 것을 보이기 위해 답이 유일하지 않다고 가정하자. 즉, <math>2a+4=0</math>인데, <math>a\neq-2</math>인 <math>a</math>가 존재한다고 가정한다. 이제 4를 이항하고 양변을 2로 나눠주면, <math>a=-2</math>가 튀어나온다. 근데 처음 가정에서 <math>a\neq-2</math>라 했으므로 이는 [[모순]]이고, 따라서 답이 유일하다는 결론이 도출된다.}} 만약 문제가 [[자연수]]에 관한 것이라면 자연수의 정렬성(Well-ordering Principle)을 사용해서 증명하는 경우가 있다. 자연수의 정렬성이란, 자연수의 '''공집합이 아닌''' 부분집합은 반드시 가장 작은 원소<ref>책에 따라서는 첫번째 원소</ref>를 가진 다는 성질이다. 참고로 굳이 자연수가 아닌 자연수의 부분집합의 부분집합에도 정렬성이 성립한다. 또한 0을 포함해도 정렬성은 변함없이 성립한다. 이 원리를 사용한 증명은 가장 작은 원소를 찾은 뒤, 그보다 더 작은 원소를 찾아내 모순을 이끌어 낸다. 예시는 [[소인수분해]]의 유일성 파트에 있으니 {{--|역시 마음의 준비를 하고}} 참고하자. 간혹 [[귀류법]]을 쓰지않고 두 개의 답이 존재한다고 가정한 뒤, 두 답이 사실은 같다는 것을 증명하는 경우도 있는데, 증명의 시작과 끝만 다르고 중간 내용은 [[귀류법]]과 비슷하다. 아래 예시를 확인해 보자. 이번엔 [[엡실론-델타 논법]]에 대한 기본 지식이 필요하다. {{인용문|어떤 실함수, 또는 [[하우스도르프 공간|T<sub>2</sub> 공간]]의 값을 가지는 함수 <math>f\left(x\right)</math>의 <math>x=a</math>에서의 극한값이 존재한다고 하자. 그러면 이 극한값은 유일하다.}} {{인용문2|<math>\lim_{x\to a}f\left(x\right)=L_1,\,\lim_{x\to a}f\left(x\right)=L_2</math>라 가정하자.<ref>여기서 귀류법과의 차이점은 굳이 <math>L_1\neq L_2</math>임을 가정하지 않는 것이다. 어차피 두 개가 같음을 보일 것이므로.</ref> 그럼 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대해 <math>0<\left|x-a\right|<\delta_1</math>이면 <math>\left|f\left(x\right)-L_1\right|<\epsilon/2</math>를 만족시키는 <math>\delta_1>0</math>이 존재한다. 마찬가지로, <math>0<\left|x-a\right|<\delta_2</math>이면 <math>\left|f\left(x\right)-L_2\right|<\epsilon/2</math>를 만족시키는 <math>\delta_2>0</math>가 존재한다. 이제 <math>0<\left|x_0-a\right|<\delta_1,\,0<\left|x_0-a\right|<\delta_2</math>인 <math>x_0</math>을 뽑자. 그러면 <math>\left|L_1-L_2\right|=\left|L_1-f\left(x_0\right)+f\left(x_0\right)-L_2\right|\leq\left|L_1-f\left(x_0\right)\right|+\left|L_2-f\left(x_0\right)\right|<\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon</math>이 성립한다.<ref>[[삼각부등식]]을 이용한다. 참고로 이 테크닉은 입실론 델타 논법에서 자주 쓰인다.</ref> 그런데 <math>\epsilon</math>이 임의의 양수이므로 이를 만족하는 경우는 <math>L_1=L_2</math>밖에 없다. 따라서 극한값은 유일하다.}} 뭔가 복잡해 보이지만 간단히 설명하면 “여러 가지 해보니 두 개가 같아야 함ㅇㅇ”을 보인 것이다. 이 방법의 다른 테크닉으로는 두 근 (혹은 [[함수]], [[행렬]] 등등)을 <math>x,y</math>라 했을 때 <math>x-y=0</math>을 보이는 것, <math>x\leq y</math>이고 <math>y\leq x</math>을 보이는 것 등이 있다. [[집합]]의 경우는 <math>A\subset B</math>이고 <math>B\subset A</math>을 보이면 된다. 유일하지 않음의 증명은 어떤 것이 두 개가 있음을 직접 찾아서 보여 주면 되기 때문에 유일성의 증명보다 더 간단한 경우가 많다. 물론 찾을 수는 있지만 직접 이거다 하고 보여주기 어려운 경우 찾는 방법을 제시할 수도 있을 것이다. 어떻게 보면 앞의 존재성 증명과 분위기가 비슷하다. === 유일성 증명의 논리적 접근 === 아래 내용은 유일성 증명의 논리학적 접근으로, 비 전공자라면 이해하기 힘들 수도 있으므로 주의. 유일성을 증명한다는 것은 <math>x</math>의 성질 <math>P\left(x\right)</math>에 대해 존재성 <math>\exists x\left[P\left(x\right)\right]</math>을 전제로 한 뒤, <math>\exists!x\left[P\left(x\right)\right]</math>을 보이는 것이라 할 수 있다. 문제는 어떤 명제를 보여야 이걸 보일 수 있는지이다. 먼저 존재성을 가정했으므로, 성질 <math>P</math>를 만족하는 <math>x_0</math>을 찾을 수 있다. 즉, 존재성은 <math>x=x_0\Rightarrow P\left(x\right)</math>이라 할 수 있다. 그럼 유일성은, 이것의 반대 방향인 <math>x=x_0\Leftarrow P\left(x\right)</math>이라 생각할 수 있다. 이제 저 명제의 대우 명제, <math>x\neq x_0\Rightarrow\neg P\left(x\right)</math>을 증명하는 것은 일종의 [[귀류법]]이라 생각할 수 있다.<ref>전 문단의 귀류법 증명에 대응</ref> 만약 <math>x_0</math>을 알 수 없는 경우에는 <math>P\left(x\right)</math>의 진리집합이 singleton이라는 것을 보일 수 있는데, 이는 <math>x=y\Leftarrow P\left(x\right)\wedge P\left(y\right)</math>을 보임으로서 해결할 수 있다.<ref>전 문단의 두 해가 존재함을 가정 한 뒤, 두 개가 같음을 보이는 것에 대응</ref> 이제 여기에 <math>y</math>대신 <math>x_0</math>을 집어넣으면 <math>x=x_0\Leftarrow P\left(x\right)\wedge P\left(x_0\right)</math>를 얻는데, 첫 명제가 <math>P\left(x_0\right)</math>임을 알고 있으므로, 결국 <math>x=x_0\Leftarrow P\left(x\right)</math>를 보이는 것이 된다. 여기서 나온 유일성 증명의 방법들을 정리하면, #<math>x=y\Leftarrow P\left(x\right)\wedge P\left(y\right)</math> #<math>P\left(x_0\right)</math>임을 알고 <math>x=x_0\Leftarrow P\left(x\right)</math> #<math>P\left(x_0\right)</math>임을 알고 <math>x\neq x_0\Rightarrow\neg P\left(x\right)</math> 이렇게 된다. 전 문단에서는 유일성을 1번으로 해석하여 증명을 작성하였으나, 사람에 따라서는 다른 방법이 유일성 증명에 있어 더 자연스러운 방법이라 생각할 수도 있다. === 보편 성질과 유일성 === {{참고|보편 성질}} [[보편 성질]]은 간단히 말해 '''가장 좋은 무언가'''를 찾는 성질을 말한다. 보편 성질의 형태는 다음과 같다. * '''임의의''' 무언가<sub>1</sub>에 대하여, 무언가<sub>2</sub>가 '''유일하게 존재하여''' 어떠하다. * <math>\forall x, \; \exists! u \; \cdots \cdots.</math> 아무리 봐도 무슨 소린지 모르겠고, 이게 왜 가장 좋은 걸 찾는지, 그 전에 가장 '좋은' 것은 무엇인지 의문이 들 것이다. 예를 하나 들어 보자. [[상한]] '''sup'''는 보편 성질로 정의될 수 있다. 먼저, 집합 {1, 2, 3}을 생각해 보자. 그리고 다음과 같이 화살표 그림을 그린다. : <math>a \le b</math>이면 <math>a</math>에서 <math>b</math>로 가는 화살표를 단 하나 그린다. 위의 예에서는 1→1, 1→2, 1→3, 2→2, 2→3, 3→3의 여섯 개의 화살표가 존재한다. 주어진 집합의 상한은 '''3'''임을 알고 있다. 이제 위의 보편 성질과 아래의 성질을 비교해 보자. * '''임의의''' 집합 {1, 2, 3}의 원소 <math>x</math>에 대하여, <math>x</math>에서 '''3'''으로 가는 화살표가 '''유일하게 존재한다'''. * <math>\forall x \in \{1, 2, \textbf{3}\}, \; \exists! \text{arrow }u: \; x \to \textbf{3}.</math> 앗, '''보편 성질'''이다! 이제 상한은 보편 성질을 만족하는 [[대상 (수학)|대상]]임을 알 수 있다. 여기서 상한을 일반화한 것이 [[끝 대상]]이다. 그나저나 이것이 유일성과 무슨 상관인가? 놀랍게도, 이런 대상은 존재하지는 않을 수 있어도, 존재한다면 '''유일(?)'''하다. 정확히는, : 유일한 [[동형 사상]]에 대하여 유일하다. (Unique up to a unique isomorphism.) 이게 대체 무슨 소리인가 하면, 동형 사상에 의한 [[동치류]]로 생각했을 때 유일하다는 것이다. 즉, '''동형이면 같은 것으로 생각했을 때 유일'''하다. 이는 다음 예시에서 더 뚜렷이 드러난다. 우리가 잘 알고 있는 [[카테시언 곱]] : <math>A\times B = \{ (a, b): \; a\in A, \; b \in B\}</math> 역시 보편 성질을 만족하는 대상이다. 자세히는 다음과 같다. 이때, <math>p: \;A\times B \to A</math>와 <math>q: \;A\times B \to B</math>는 좌표 하나를 없애 버리는 [[사영 사상]]이다. * '''임의의''' 집합 <math>X</math>와 두 함수 <math>f: \; X\to A</math>, <math>g: \; X\to B</math>에 대하여, 어떤 함수([[분해 (범주론)|분해]], '''factorization''') <math>u: X \to A\times B</math>가 '''유일하게 존재하여''' <math>f = u \circ p</math>이고 <math>g = u \circ q</math>이다. * <math>\forall X \in \textbf{Set} \; \forall f:\;X\to A \; \forall g: \; X \to B, \qquad \exists! u : \; X \to A\times B, \;(f =u \circ p) \land (g = u \circ q).</math> * 다르게 표현하면, 다음 그림이 [[가환 그림|가환]]하면 된다. 이는 아래 그림의 모든 삼각형(이나 사각형 등...)에 대하여, '''어떤 화살표를 따라가든 같은 결과를 얻는다'''는 뜻이다. <div align="center"> <math>\require{AMSmath} \require{AMSsymbols} \newcommand\mapright[2][]{\xrightarrow[#1]{ #2 }} \newcommand\mapleft[2][]{\xleftarrow[#1]{ #2 }} \newcommand\mapdown[2][]{\llap{\raise2pt{\scriptstyle{ #1 }}}\Big\downarrow\rlap{\raise2pt{\scriptstyle{ #2 }}}} \newcommand\mapup[2][]{\llap{{\scriptstyle{ #1 }}}\Big\uparrow\rlap{{\scriptstyle{ #2 }}}} \newcommand\mapdownright[2][]{\vcenter{\kern5pt\raise.5pt\rlap{\lower6pt{\scriptstyle#1}}\kern-2pt\diagdown\kern-.42em\lower.63em{\searrow}\raise-.5pt\kern-2pt\llap{\raise1.5pt{\scriptstyle#2 \kern.1pt}}}} \newcommand\mapdownleft[2][]{\vcenter{\kern9pt\rlap{\lower6pt{\scriptstyle#1}}\kern-14pt\kern1em\diagup\kern-1.6em\lower.63em{\swarrow}\llap{\raise2pt{\scriptstyle #2\kern2pt}}}} \newcommand\mapupleft[2][]{\vcenter{\kern3pt\raise.5pt\rlap{\lower6pt{\scriptstyle#1}}\kern-4pt\nwarrow\kern-.64em\lower.63em{\diagdown}\raise-.5pt\kern-2pt\llap{\raise1.5pt{\scriptstyle#2 \kern4pt}}}} \newcommand\mapupright[2][]{\vcenter{\kern6pt\rlap{\lower6pt{\scriptstyle#1}}\kern-18pt\kern1em\nearrow\kern-1.9em\lower.63em{\diagup}\llap{\raise2pt{\scriptstyle #2\kern2pt}}}} \begin{array}{ccc} &X&\\&\mapdownleft{f } \quad \quad\; \mapdown{\exists ! u} \;\quad \mapdownright{ g} & \\ A&\mapleft[\; p\;]{} \; A\times B \;\mapright[\;q\;]{} & B \\ \end{array} </math> </div> {{--|갑자기 어려워졌다}} 그런데, 잘 생각해 보면 <math>B \times A</math>도 같은 성질을 만족한다. * '''임의의''' 집합 <math>X</math>와 두 함수 <math>f: \; X\to A</math>, <math>g: \; X\to B</math>에 대하여, factorization <math>u: X \to B\times A</math>가 '''유일하게 존재하여''' <math>f = u \circ p</math>이고 <math>g = u \circ q</math>이다. * <math>\forall X \in \textbf{Set} \;\forall f:\;X\to A \; \forall g: \; X \to B, \qquad \exists! u : \; X \to B\times A, \;(f =u \circ p) \land (g = u \circ q).</math> * 다르게 표현하면, 다음 그림이 [[가환 그림|가환]]하면 된다. <div align="center"> <math>\require{AMSmath} \require{AMSsymbols} \newcommand\mapright[2][]{\xrightarrow[#1]{ #2 }} \newcommand\mapleft[2][]{\xleftarrow[#1]{ #2 }} \newcommand\mapdown[2][]{\llap{\raise2pt{\scriptstyle{ #1 }}}\Big\downarrow\rlap{\raise2pt{\scriptstyle{ #2 }}}} \newcommand\mapup[2][]{\llap{{\scriptstyle{ #1 }}}\Big\uparrow\rlap{{\scriptstyle{ #2 }}}} \newcommand\mapdownright[2][]{\vcenter{\kern5pt\raise.5pt\rlap{\lower6pt{\scriptstyle#1}}\kern-2pt\diagdown\kern-.42em\lower.63em{\searrow}\raise-.5pt\kern-2pt\llap{\raise1.5pt{\scriptstyle#2 \kern.1pt}}}} \newcommand\mapdownleft[2][]{\vcenter{\kern9pt\rlap{\lower6pt{\scriptstyle#1}}\kern-14pt\kern1em\diagup\kern-1.6em\lower.63em{\swarrow}\llap{\raise2pt{\scriptstyle #2\kern2pt}}}} \newcommand\mapupleft[2][]{\vcenter{\kern3pt\raise.5pt\rlap{\lower6pt{\scriptstyle#1}}\kern-4pt\nwarrow\kern-.64em\lower.63em{\diagdown}\raise-.5pt\kern-2pt\llap{\raise1.5pt{\scriptstyle#2 \kern4pt}}}} \newcommand\mapupright[2][]{\vcenter{\kern6pt\rlap{\lower6pt{\scriptstyle#1}}\kern-18pt\kern1em\nearrow\kern-1.9em\lower.63em{\diagup}\llap{\raise2pt{\scriptstyle #2\kern2pt}}}} \begin{array}{ccc} &X&\\&\mapdownleft{g } \quad \quad\; \mapdown{\exists ! u} \;\quad \mapdownright{f} & \\ B&\mapleft[\; q\;]{} \; B\times A \;\mapright[\;p\;]{} & A \\ \end{array} </math> </div> 즉, 유일성이 깨졌다! 하지만 잘 보면 둘 사이에 '''유일한 동형 사상'''이 존재함을 알 수 있다. :<math> \text{swap}: \; A\times B \xrightarrow{\quad\sim\quad} B \times A, \quad (a, b) \mapsto (b, a).</math> 물론 같은 것 사이에는 [[항등 사상]]이라는 유일한 동형 사상이 존재한다. :<math> 1_{A\times B}: \; A\times B \xrightarrow{\quad\sim\quad} A\times B.</math> 이렇게, 보편 성질을 만족하는 대상들은 유일한 [[동형 사상]]에 대하여 유일함이 알려져 있다. 더 많은 것을 알고 싶다면 [[보편 성질]] 참조. {{각주}} [[분류:수학]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț