로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!== 양자 물리 == [[양자역학]]에서는 파동함수를 사용한다. 고전역학에서 파동함수는 파동방정식 :<math>\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{1}{v^2}\frac{\partial\psi}{\partial t^2}=0</math> 을 만족한다. 파동방정식과 같이 여러 변수에 대한 미분이 들어있는 방정식을 편미분방정식이라 부르며 변수분리법을 사용해서 편미분방정식의 해를 구하면 그 해는 물리현상을 잘 설명한다는 사실이 알려져 있다. 파동함수를 다음과 같이 변수분리하자. :<math>\psi(x,t)\equiv \xi(x)\cdot\chi(t)</math> 파동방정식에 대입하면 :<math>\chi\frac{d^2\xi}{dx^2}-\frac{\xi}{v^2}\frac{d^2\chi}{dt^2}=0</math> 정리하여 :<math>\frac{v^2}{\xi}\frac{d^2\xi}{dx^2}=\frac{1}{\chi}\frac{d^2\chi}{dt^2}</math> 이다. 좌변은 x에 대한 함수이고 우변은 t에 대한 함수이므로 두 식이 같아지는 것은 상수가 될 때 뿐이다. 그 상수를 <math>-\omega^2</math>로 두면 :<math>\frac{d^2\xi}{dx^2}+\frac{\omega^2}{v^2}\xi=0</math> 와 :<math>\frac{d^2\chi}{dt^2}+\omega^2\chi=0</math> 의 식을 얻을 수 있으며 이들 방정식의 해는 :<math>\xi(x)=Ae^{i(\omega/v)x}+Be^{-i(\omega/v)x}</math> :<math>\chi(x)=Ce^{i\omega t}+De^{-i\omega t}</math> 으로 표현되므로 파동함수 <math>\psi</math>는 :<math>\exp\left[ i(\omega/v)(x+vt)\right ]</math> :<math>\exp\left[ i(\omega/v)(x-vt)\right ]</math> :<math>\exp\left[ -i(\omega/v)(x+vt)\right ]</math> :<math>\exp\left[ -i(\omega/v)(x-vt)\right ]</math> 항들의 선형결합으로 표현된다. 파수 k가 <math>k=\frac{\omega}{v}</math>를 만족하므로 x의 양수 방향으로 진행하는 파수가 k인 파동은 :<math>\psi_k(x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}+Be^{-i(kx-\omega t)}</math> 으로 쓸 수 있다. 중첩의 원리에 따라서 파동함수를 k에 따라서 더하면 :<math>\psi(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} dk\,A(k)e^{i(kx-\omega t)}</math> 이다. (운동에너지가 음수가 되므로 <math>B(k)\exp[-i(kx-\omega t)]</math>는 고려하지 않는다.) 드 브로이의 물질파 이론에 의해 <math>k=p/\hbar</math>이고 플랑크의 관계식에 의해 <math>\omega=E/\hbar</math>임을 이용하면 다음과 같이 적을 수 있다. :<math>\psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty} dp\,\phi(p)e^{i(px-Et)/\hbar}</math> 시간에 대해 미분하면 :<math> \begin{alignat}{2} i\hbar\frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}&=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty} dp\,\phi(p)E(p)e^{i(px-Et)/\hbar}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty} dp\,\phi(p)\frac{p^2}{2m}e^{i(px-Et)/\hbar}\\ \end{alignat} </math> 한편 :<math>\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x}\psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty} dp\,\phi(p)p\,e^{i(px-Et)/\hbar}</math> :<math>\left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x}\right )^2\psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty} dp\,\phi(p)p^2\,e^{i(px-Et)/\hbar}</math> 이므로 두 결과를 합치면 <math>\psi(x,t)</math>에 대한 미분방정식 :<math>i\hbar\frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2}</math> 을 얻는다. 이 방정식이 자유입자에 대한 [[슈뢰딩거 방정식]]이다. 퍼텐셜 에너지 <math>V(x)</math>를 고려하면 일반적인 슈뢰딩거 방정식 :<math>i\hbar\frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2}+V(x)\psi(x,t)</math> 을 얻는다. <math>\psi(x,0)</math>가 <math>\phi(p)</math>의 푸리에 적분으로 나타나듯이 <math>\phi(p)</math>도 <math>\psi(x,0)</math>로 표현될 수 있다. <math>\psi(x,0)</math>에 <math>e^{-ip^\prime x/\hbar}</math>를 곱하여 적분하면 :<math>\int^\infty_{-\infty}dx\, \psi(x,0)e^{-ip^\prime x/\hbar} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int^\infty_{-\infty}dx\int^\infty_{-\infty}dp\,\phi(p)e^{i(p-p^\prime)x/\hbar}</math> 이며 공식<math>\int^\infty_{-\infty}dx\,e^{(p-p^\prime)x/\hbar} = 2\pi\hbar\delta(p-p^\prime)</math>을 이용하면 우변은 <math>\sqrt{2\pi\hbar}\phi(p^\prime)</math>이 되어서 :<math>\phi(p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int^\infty_{-\infty}dx\,\psi(x,0)e^{-ipx/\hbar}</math> 가 성립한다. <s>상대성이론이 보스인지, 이쪽이 보스인지 모르겠다. 그리고 [[통일장 이론|현대에는 이 둘을 합치려고 노력중]]이다.</s> {{각주}} [[분류:쉽게 알 수 있다 시리즈]] [[분류:양자역학]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț