플랑크의 양자설[편집 | 원본 편집]
빛의 입자성[편집 | 원본 편집]
입자의 파동성[편집 | 원본 편집]
1923년 드 브로이는 빛에 이중성이 존재한다면 물질에 대해서도 이중성이 존재할 것으로 예측했다. 따라서 다음과 같은 관계식을 제안했다.
- [math]\displaystyle{ \lambda=\frac{h}{p} }[/math]
h는 플랑크 상수이고 p는 입자의 운동량이다. 그 후 데이비슨과 거머는 실험을 통해 전자의 파동성을 관측했다.
양자 물리[편집 | 원본 편집]
양자역학에서는 파동함수를 사용한다. 고전역학에서 파동함수는 파동방정식
- [math]\displaystyle{ \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{1}{v^2}\frac{\partial\psi}{\partial t^2}=0 }[/math]
을 만족한다. 파동방정식과 같이 여러 변수에 대한 미분이 들어있는 방정식을 편미분방정식이라 부르며 변수분리법을 사용해서 편미분방정식의 해를 구하면 그 해는 물리현상을 잘 설명한다는 사실이 알려져 있다. 파동함수를 다음과 같이 변수분리하자.
- [math]\displaystyle{ \psi(x,t)\equiv \xi(x)\cdot\chi(t) }[/math]
파동방정식에 대입하면
- [math]\displaystyle{ \chi\frac{d^2\xi}{dx^2}-\frac{\xi}{v^2}\frac{d^2\chi}{dt^2}=0 }[/math]
정리하여
- [math]\displaystyle{ \frac{v^2}{\xi}\frac{d^2\xi}{dx^2}=\frac{1}{\chi}\frac{d^2\chi}{dt^2} }[/math]
이다. 좌변은 x에 대한 함수이고 우변은 t에 대한 함수이므로 두 식이 같아지는 것은 상수가 될 때 뿐이다. 그 상수를 [math]\displaystyle{ -\omega^2 }[/math]로 두면
- [math]\displaystyle{ \frac{d^2\xi}{dx^2}+\frac{\omega^2}{v^2}\xi=0 }[/math]
와
- [math]\displaystyle{ \frac{d^2\chi}{dt^2}+\omega^2\chi=0 }[/math]
의 식을 얻을 수 있으며 이들 방정식의 해는
- [math]\displaystyle{ \xi(x)=Ae^{i(\omega/v)x}+Be^{-i(\omega/v)x} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \chi(x)=Ce^{i\omega t}+De^{-i\omega t} }[/math]
으로 표현되므로 파동함수 [math]\displaystyle{ \psi }[/math]는
- [math]\displaystyle{ \exp\left[ i(\omega/v)(x+vt)\right ] }[/math]
- [math]\displaystyle{ \exp\left[ i(\omega/v)(x-vt)\right ] }[/math]
- [math]\displaystyle{ \exp\left[ -i(\omega/v)(x+vt)\right ] }[/math]
- [math]\displaystyle{ \exp\left[ -i(\omega/v)(x-vt)\right ] }[/math]
항들의 선형결합으로 표현된다. 파수 k가 [math]\displaystyle{ k=\frac{\omega}{v} }[/math]를 만족하므로 x의 양수 방향으로 진행하는 파수가 k인 파동은
- [math]\displaystyle{ \psi_k(x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}+Be^{-i(kx-\omega t)} }[/math]
으로 쓸 수 있다. 중첩의 원리에 따라서 파동함수를 k에 따라서 더하면
- [math]\displaystyle{ \psi(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} dk\,A(k)e^{i(kx-\omega t)} }[/math]
이다. (운동에너지가 음수가 되므로 [math]\displaystyle{ B(k)\exp[-i(kx-\omega t)] }[/math]는 고려하지 않는다.)
드 브로이의 물질파 이론에 의해 [math]\displaystyle{ k=p/\hbar }[/math]이고 플랑크의 관계식에 의해 [math]\displaystyle{ \omega=E/\hbar }[/math]임을 이용하면 다음과 같이 적을 수 있다.
- [math]\displaystyle{ \psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty} dp\,\phi(p)e^{i(px-Et)/\hbar} }[/math]
시간에 대해 미분하면
- [math]\displaystyle{ \begin{alignat}{2} i\hbar\frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}&=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty} dp\,\phi(p)E(p)e^{i(px-Et)/\hbar}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty} dp\,\phi(p)\frac{p^2}{2m}e^{i(px-Et)/\hbar}\\ \end{alignat} }[/math]
한편
- [math]\displaystyle{ \frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x}\psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty} dp\,\phi(p)p\,e^{i(px-Et)/\hbar} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x}\right )^2\psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty} dp\,\phi(p)p^2\,e^{i(px-Et)/\hbar} }[/math]
이므로 두 결과를 합치면 [math]\displaystyle{ \psi(x,t) }[/math]에 대한 미분방정식
- [math]\displaystyle{ i\hbar\frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} }[/math]
을 얻는다. 이 방정식이 자유입자에 대한 슈뢰딩거 방정식이다. 퍼텐셜 에너지 [math]\displaystyle{ V(x) }[/math]를 고려하면 일반적인 슈뢰딩거 방정식
- [math]\displaystyle{ i\hbar\frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2}+V(x)\psi(x,t) }[/math]
을 얻는다.
[math]\displaystyle{ \psi(x,0) }[/math]가 [math]\displaystyle{ \phi(p) }[/math]의 푸리에 적분으로 나타나듯이 [math]\displaystyle{ \phi(p) }[/math]도 [math]\displaystyle{ \psi(x,0) }[/math]로 표현될 수 있다. [math]\displaystyle{ \psi(x,0) }[/math]에 [math]\displaystyle{ e^{-ip^\prime x/\hbar} }[/math]를 곱하여 적분하면
- [math]\displaystyle{ \int^\infty_{-\infty}dx\, \psi(x,0)e^{-ip^\prime x/\hbar} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int^\infty_{-\infty}dx\int^\infty_{-\infty}dp\,\phi(p)e^{i(p-p^\prime)x/\hbar} }[/math]
이며 공식[math]\displaystyle{ \int^\infty_{-\infty}dx\,e^{(p-p^\prime)x/\hbar} = 2\pi\hbar\delta(p-p^\prime) }[/math]을 이용하면 우변은 [math]\displaystyle{ \sqrt{2\pi\hbar}\phi(p^\prime) }[/math]이 되어서
- [math]\displaystyle{ \phi(p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int^\infty_{-\infty}dx\,\psi(x,0)e^{-ipx/\hbar} }[/math]
가 성립한다.
상대성이론이 보스인지, 이쪽이 보스인지 모르겠다. 그리고 현대에는 이 둘을 합치려고 노력중이다.