로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!== 유클리드 기하학에서 == === 종류 === 데카르트 평면에서 거리를 보존하는 [[함수]]를 생각해보자. 대부분의 사람은 평행이동, 대칭이동, 회전이동, 그리고 이 세 개를 조합한 것 외에는 딱히 떠오르지 않을 것이다. 그럼, 정말로 (합성함수를 제외하고) 세 가지밖에 없을까? 이 질문에 답을 해주는 것이 3대칭 정리이며, 3대칭 정리에 따르면 저 세 가지 외에 다른 등거리 사상은 존재하지 않는다. 우선, 평행, 대칭, 회전이동이 등거리 사상이라는 것부터 보이자. '''평행이동 (Translation)''' {{인용문2|<math>\mathbb{R}^2</math> 위의 고정된 점 <math>\left(a,b\right)</math>와 임의의 점 <math>\left(x,y\right)</math>에 대해, <math>t_{a,b}\left(x,y\right)=\left(x+a,y+b\right)</math>로 정의하며, 이를 평행변환이라고 한다.}} {{숨기기|등거리 사상 증명| <math>\begin{align*}d\left(t_{a,b}\left(x_1,y_1\right),t_{a,b}\left(x_2,y_2\right)\right)&=d\left(\left(x_1+a,y_1+b\right),\left(x_2+a,y_2+b\right)\right)\\&=\sqrt{\left(x_1+a-x_2-a\right)^2+\left(y_1+b-y_2-b\right)^2}\\&=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2}\\&=d\left(\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right)\right)\end{align*}</math> <br /> 한편, <math>t^{-1}_{a,b}=t_{-a,-b}</math>이다. }} '''회전이동 (Rotation)''' {{인용문2|원점을 기준으로 <math>\theta</math>만큼 회전시키는 변환을 <math>r_\theta:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>이라고 하자. 구체적인 식으로 나타내면, <math>r_\theta\left(x,y\right)=\left(x\cos\theta-y\sin\theta,x\sin\theta+y\cos\theta\right)</math>이고, [[행렬]]로 나타내면 <math>r_\theta\left(x,y\right)=\begin{bmatrix}\cos\theta&&-\sin\theta\\\sin\theta&&\cos\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}</math>이다.}} {{숨기기|등거리 사상 증명| 평행이동이 등거리 사상이므로, 원점에 대한 회전변환이 등거리 사상임을 보이면 충분하다. 편의상 <math>c=\cos\theta,\,s=\sin\theta</math>로 쓰자. <br /> <math>\begin{align*}d\left(r_\theta\left(x_1,y_1\right),r_\theta\left(x_2.y_2\right)\right)&=d\left(\left(cx_1-sy_1,sx_1+cy_1\right),\left(cx_2-sy_2,sx_2+cy_2\right)\right)\\&=\sqrt{\left(c\left(x_1-x_2\right)-s\left(y_1-y_2\right)\right)^2+\left(s\left(x_1-x_2\right)+c\left(y_1-y_2\right)\right)^2}\\&=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2\left(c^2+s^2\right)+\left(y_1-y_2\right)^2\left(c^2+s^2\right)}\\&=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2}\\&=d\left(\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right)\right)\end{align*}</math> <br /> 한편, <math>r^{-1}_\theta=r_{-\theta}</math>이다. }} '''대칭이동 (Reflection)''' {{인용문2|x축에 대한 대칭이동을 <math>R:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>이라고 하자. 그럼, <math>R\left(x,y\right)=\left(x,-y\right)</math>이다.}} {{숨기기|등거리 사상 증명| 평행이동과 회전이동이 등거리 사상이므로, x축에 대한 대칭이동이 등거리 사상임을 보이면 충분하다. <br /> <math>\begin{align*}d\left(R\left(x_1,y_1\right),R\left(x_2,y_2\right)\right)&=d\left(\left(x_1,-y_1\right),\left(x_2,-y_2\right)\right)\\&=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2}\\&=d\left(\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right)\right)\end{align*}</math> <br /> 한편, <math>R^{-1}=R</math>이다. }} 마지막으로, 대칭이동 후, 평행이동을 한 것을 '''미끄럼 반사(Glide Reflection)'''이라고 한다. === 성질 === <math>f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>를 임의의 등거리 사상이라고 하자. 그럼, <math>f</math>는 #선을 선으로 #선분을 길이가 같은 선분으로 #삼각형을 합동인 삼각형으로 #각을 크기가 같은 각으로 #원을 원으로 옮긴다. 1번의 증명은 직선 위의 서로 다른 두 점을 옮긴 뒤, 옮겨진 두 점이 이루는 직선이 사상임을 보이면 된다. 2번은 1번+거리 보존 성질을 이용하면 된다. 3번은 2번을 이용하여 SSS합동을 만들고, 4번은 3번을 이용하면 된다. 마지막으로 5번은 2번과 중심과 원주 위의 거리가 일정하다는 사실을 이용하면 된다. 증명은 간단하므로 생략. 이제, 본격적으로 3대칭 정리를 증명할 것이다. 그 전에 먼저 필요한 것들을 살펴보자. '''도움정리''' {{인용문2|<math>\mathbb{R}^2</math> 위의 임의의 점은 [[공선점]]이 아닌 세 점과의 거리로 유일하게 결정된다.}} {{숨기기|증명| <math>A,\,B,\,C</math>가 공선점이 아닌 세 점이라고 하자. 또한, <math>P,\,Q</math>가 <math>A,\,B,\,C</math>까지의 거리가 각각 같은 서로 다른 두 점이라고 하자. 이는 곧 <math>A,\,B,\,C</math>가 <math>\overline{PQ}</math>위 수직이등분선 위에 있다는 것을 의미하고, 이것은 <math>A,\,B,\,C</math>가 공선점이 아니라는 가정에 모순이다. 따라서, <math>P=Q</math>. 즉, 세 점과 그 세 점까지의 거리가 주어지면, 이를 만족하는 유일한 점을 찾을 수 있다. }} '''따름정리''' {{인용문2|임의의 등거리 사상은 공선점이 아닌 세 점에 의해 결정된다.}} 도움정리에 의해 매우 쉽게 보일 수 있으므로 증명은 생략. '''3대칭 정리 (3 Reflection Theorem)''' {{인용문2|<math>\mathbb{R}^2</math> 위의 임의의 등거리 사상은 많아야 3개의 대칭변환의 합성함수이다.}} {{숨기기|증명| <math>A,\,B,\,C</math>를 공선점이 아닌 세 점, <math>f</math>를 임의의 등거리 사상이라고 하자. 목표는 최대 3개의 대칭변환을 이용하여 <math>A,\,B,\,C</math>를 각각 <math>f\left(A\right),\,f\left(B\right),\,f\left(C\right)</math>로 옮기는 것이다. 그러면 위 따름정리에 의해 등거리 사상이 결정된다. <br /> 먼저 <math>A=f\left(A\right)</math>라면, <math>A</math>는 더이상 고려해 줄 필요가 없다. 만약 아니라면, <math>R_A</math>를 <math>A</math>와 <math>f\left(A\right)</math>에 같은 거리만큼 떨어져 있는 선이라고 하자. 그럼 <math>R_A</math>에 대한 대칭이동은 <math>A</math>를 <math>f\left(A\right)</math>로 이동시킨다. <br /> 이제, <math>R_A\left(B\right)=f\left(B\right)</math>라면, <math>B</math>는 더이상 고려해 줄 필요가 없다. 만약 아니라면, <math>R_B</math>를 <math>R_A\left(B\right)</math>와 <math>f\left(B\right)</math>와 같은 거리만큼 떨어져 있는 선이라고 하자. 그럼 <math>R_B\circ R_A\left(B\right)=f\left(B\right)</math>이다. 또한, <math>f</math>와 <math>R_A</math>가 등거리 사상이므로, <math>d\left(f\left(A\right),f\left(B\right)\right)=d\left(A,B\right)=d\left(R_A\left(A\right),R_A\left(B\right)\right)</math>이다. 따라서, <math>R_B</math>는 <math>f\left(A\right)</math>를 고정시킨다. 즉, <math>R_B\circ R_A</math>는 <math>A,\,B</math>를 각각 <math>f\left(A\right),\,f\left(B\right)</math>로 보낸다. <math>C</math>에 대해서도 같은 방법으로 하면 된다. }} 3대칭 정리에 의해, 필요한 대칭변환의 수에 따라 모든 등거리 사상을 분류할 수 있다. 먼저, 대칭이 필요하지 않다면 그것은 당연히 항등변환이고, 대칭이 하나만 필요하다면 그것은 당연히 대칭변환이다. 그럼 대칭이 2개 필요하면 어떨까? 두 대칭선이 평행하냐 만나냐에따라 분류가 달라진다. 자세한 것은 다음과 같다. #두 대칭선이 평행하며, 거리가 <math>d/2</math>만큼 떨어져 있을 경우 #:대칭선에 수직인 방향으로 <math>d</math>만큼 평행이동시킨 것과 동일하다. 합성하는 순서에 따라 방향이 결정된다. #두 대칭선이 교차하며, 교차각이 <math>\theta/2</math>인 경우 #:교점을 중심으로 <math>\theta</math>만큼 회전이동시킨 것과 동일하다. 합성하는 순서에 따라 회전 방향이 결정된다. 이제, 필요한 대칭이 3개인 경우를 살펴보자. 3개의 대칭이 모두 평행한 경우와 적어도 두 직선이 평행하지 않은 경우의 두 가지로 나뉜다. #세 대칭선이 모두 평행한 경우 #:세 번째 대칭선과 <math>d/2</math>만큼 떨어진 평행선에 대칭시킨 것과 동일하다. 앞의 두 대칭을 합성하는 순서에 따라 방향이 달라진다. #적어도 두 직선이 만나는 경우 #:미끄럼 반사이다. 대칭선과 이동 방향, 이동 거리를 찾기는 상당히 까다롭다. 위 분류에 따르면, 데카르트 평면에선 항등변환, 대칭이동, 평행이동, 회전이동, 미끄럼 반사 외에 다른 등거리 사상이 존재하지 않음을 알 수 있다. 각 분류가 정말로 맞는지는 [[GSP (수학)|GSP]] 같은 프로그램을 사용해서 직접 확인해 보자. 증명은 미끄럼 반사를 제외하고 간단한 편. 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț