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[[집합]] 기호로 표현하면 <math>\mathbb{RP}^1=\mathbb{R}\cup\left\{\infty\right\}</math>. 실사영선을 기하학적으로 표현하는 방법엔 크게 두 가지가 있는데, 하나는 그냥 직선, 다른 하나는 [[원 (도형)|원]]. 여기서는 실사영선을 직선+무한대점으로 생각하기로 한다. 이제, 실사영선을 다른 실사영선 위로 사영시키는 변환을 생각해보자. 이해를 돕기 위해 일단 구체적인 예시를 하나 들겠다. {{인용문2|점 <math>P=\left(a,b\right)</math>를 <math>x</math>축을 거쳐 <math>y</math>축 위로 사영시킨다고 가정하자. 이 사영 함수를 <math>f</math>라 하고, 거치는 <math>x</math>축 위의 점을 <math>t</math>라 하면 도달하는 <math>y</math>축의 점은 <math>f\left(t\right)</math>이다. 직선의 기울기가 일정함을 이용하며 식을 세우면, <math>\frac{b}{a-t}=-\frac{f\left(t\right)}{t}</math>이고, 정리하면 <math>f\left(t\right)=\frac{bt}{t-a}</math>이다.}} 일단 위 예시가 실생활에서 뭘 뜻하는지 알고 가자. 일단 점 <math>P</math>는 우리의 "눈"이다. 그리고 거쳐가는 선(예시에서는 <math>x</math>축)은 우리가 눈으로 "바라보는 것"이다. 마지막으로 도달하는 선(예시에서는 <math>y</math>축)은 우리가 바라보는 것이 "비춰지는 곳"이다. 그럼, 눈의 위치에 따라서 우리가 바라보는 물체가 비춰지는 형상이 다름을 쉽게 알 수 있다. 그 달라지는 형상을 표현한 것이 바로 저 함수인 것이다. {{ㅊ|뜬금없이 미술 수업}} 증명은 하지 않겠지만, 위와 같은 사영 변환은 전부 <math>f\left(x\right)=\frac{ax+b}{cx+d}</math>의 형태를 띠고 있다. 여기서 <math>x</math>는 <math>\mathbb{RP}^1</math>의 원소이며, 함수 <math>f</math>는 <math>\mathbb{RP}^1\to\mathbb{RP}^1</math>인 함수이다. 무한대점의 계산을 어떻게 하냐는 의문이 들 수 있는데, [[함수의 극한]]이라고 생각하면 된다. 즉, <math>x=\infty</math>이면 <math>f\left(x\right)=\frac{a}{c}</math>이고, <math>x=-\frac{d}{c}</math>이면 <math>f\left(x\right)=\infty</math>이다. 이러한 변환을 '''선형 분수 변환(Linear Fractional Transformation, LFT)'''이라 부른다. 모든 LFT는 <math>x\mapsto x+l,\,x\mapsto kx\,(k\neq0),\,x\mapsto\frac{1}{x}</math>의 적절한 합성으로 이루어진다는 것을 쉽게 알 수 있는데, 저 세 함수를 LFT의 [[생성함수]]라고 부른다. 정의역과 공역은 당연히 전부 <math>\mathbb{RP}^1</math>. 한편, 저 세 생성함수는 일대일 대응 함수임을 쉽게 보일 수 있다. 일대일 대응 함수의 합성함수도 일대일 대응이므로, 모든 LFT는 일대일 대응 함수라는 사실을 알 수 있다. 사영 변환이 LFT라고 했지만, 모든 LFT가 사영 변환일까? 이를 확인하기 위해서는 LFT의 생성함수가 사영 변환인지 체크하면 된다. {{숨기기|증명| #<math>x\mapsto x+l</math>: 시점을 무한대점으로 한 상태에서, 평행한 두 선에 대한 사영이다. #<math>x\mapsto kx</math>: 시점이 무한대점이 아닌 상태에서, 평행한 두 선에 대한 사영이다. #<math>x\mapsto\frac{1}{x}</math>: 원점에서 <math>y=1</math>을 지나 <math>x=1</math>에 사영시킨 것이다.}} 따라서, 사영 변환과 LFT는 동치이다. 사영 변환은 직관적으로 이해하기 힘들기 때문에, 앞으로는 LFT를 생각하자. LFT가 [[등거리사상]]이 아님을 쉽게 알 수 있다. 하지만, LFT는 '''비조화비(Cross Ratio)'''라는 것을 보존한다. 한 직선 위의 서로 다른 네 점 <math>p,\,q,\,r,\,s</math>의 비조화비는 다음과 같이 정의한다. :<math>\left[p,q;r,s\right]=\frac{\left(r-p\right)/\left(s-p\right)}{\left(r-q\right)/\left(s-q\right)}=\frac{\left(r-p\right)\left(s-q\right)}{\left(r-q\right)\left(s-p\right)}</math><ref>아쉽지만, 비조화비를 시각적으로 직관적이게 표현할 방법은 없다.</ref> LFT의 생성함수가 비조화비를 보존한다는 것을 보이면 모든 LFT가 비조화비를 보존한다는 것을 보일 수 있다. 증명은 <math>\left[f\left(p\right),f\left(q\right);f\left(r\right),f\left(s\right)\right]=\left[p,q;r,s\right]</math>임을 보이면 되는데, 쉬우므로 생략. 이제 비조화비와 LFT에 대한 간단한 성질을 알고 가자. ;정리 1 {{인용문2|서로 다른 세 점 <math>p,\,q,\,r\in\mathbb{RP}^1</math>에 대해, 임의의 <math>x\in\mathbb{RP}^1</math>은 <math>p,\,q,\,r,\,x</math>의 비조화비로 결정된다.}} {{숨기기|증명|<math>\left[p,q;r,x\right]=\left[p,q;r,y\right]</math>이라 하자. 양변을 잘 정리하면 <math>x=y</math>가 나온다. 즉, 세 점과 비조화비가 주어지면, 다른 한 점은 하나로 결정된다.}} ;정리 2 {{인용문2|서로 다른 세 점 <math>p,\,q,\,r\in\mathbb{RP}^1</math>과 서로 다른 세 점 <math>p',\,q',\,r'\in\mathbb{RP}^1</math>에 대해, <math>p\mapsto p',\,q\mapsto q',\,r\mapsto r'</math>인 LFT가 존재한다.}} {{숨기기|증명|일반성을 잃지 않고 <math>p=p'</math>가 되도록 두 <math>\mathbb{RP}^1</math>를 잡는다. 이제, 점 <math>P</math>를 <math>\overleftrightarrow{qq'}</math>와 <math>\overleftrightarrow{rr'}</math>의 교점이라 가정하자. 그럼, 찾고자 하는 LFT는 <math>P</math>를 시점으로, <math>p,\,q,\,r</math>를 지나는 <math>\mathbb{RP}^1</math>를 <math>p',\,q',\,r'</math>를 지나는 <math>\mathbb{RP}^1</math>에 사영시킨 것이다.<br />참고로 이 정리는 대수적인 방법으로도 쉽게 보일 수 있다.}} ;정리 3 {{인용문2|만약 <math>f,\,g</math>가 <math>p,\,q,\,r\mapsto p',\,q',\,r'</math>인 LFT라면, <math>f=g</math>이다.}} {{숨기기|증명|우선, 정리 2에 의해 조건을 만족하는 LFT가 존재한다. 그런데, 정리 1에 의해 <math>f</math>와 <math>g</math>의 비조화비는 항상 같다. 즉, <math>f=g</math>.}} LFT와 비조화비는 아래에서 설명할 쌍곡 기하학의 가장 대표적인 모델, '''힐베르트 평면'''에서 쓰이게 된다. 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț