로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!=== 푸앵카레 원판 === 푸앵카레 원판은 [[앙리 푸앵카레]]의 이름을 딴 쌍곡 기하학의 [[모델 (기하학)|모델]]로써, 힐베르트 평면과 함께 쌍곡 기하학 모델에서 가장 자주 쓰인다. 참고로 [[밀레니엄 문제]] 중 하나인 [[푸앵카레 추측]]의 그 푸앵카레 맞다. 푸앵카레 원판은 힐베르트 평면에서 특정한 뫼비우스 변환 <math>M:\mathbb{C}\to\mathbb{C},M\left(z\right)=\frac{iz+1}{z+i}</math>을 함으로써 얻어지며, 정의역이 <math>\mathbb{H}^2</math>이면 치역은 <math>\mathbb{D}=\left\{z|\left|z\right|<1\right\}</math>이다. 우선 몇 가지 점을 대입하여 값을 확인해 보자. :<math>M\left(0\right)=-i,M\left(1\right)=1,M\left(-1\right)=-1,M\left(\infty\right)=i,M\left(i\right)=0</math> 독립변수 <math>i</math>를 제외하고는 전부 <math>\partial\mathbb{H}^2</math>의 값임에 일단 주의하자. 눈에 띄는 점은, 실사영선의 점을 대입하면 단위원 위의 점이 튀어나온다는 것이다. 실사영선이 힐베르트 평면의 경계선이고, 단위원이 푸앵카레 원판의 경계선임을 생각해보면 푸앵카레 원판은 힐베르트 평면을 동그랗게 말아 압축시킨 것이라고 할 수 있다. 그럼 힐베르트 평면 위의 점들은 정말로 전부 푸앵카레 원판 안으로 들어갈까? 이 사실을 한번 확인해보자. ;정리 {{인용문2|<math>M:\mathbb{H}^2\to\mathbb{D}</math>은 일대일 대응 함수이다.}} {{숨기기|증명| <math>M\left(u\right)=M\left(v\right)</math>이라 가정하고, 식을 정리하면 <math>u=v</math>를 얻는다. 따라서 <math>M</math>은 일대일 함수이다.<br />이제, 임의의 <math>w=a+bi\in\mathbb{D}</math>를 잡자. 행렬을 이용하면, <math>M^{-1}\left(w\right)=\frac{iw-1}{-w+i}=z</math>임을 쉽게 알 수 있다. 한편, <math>z</math>의 분모를 실수화시켜주면, <math>z=\frac{a-b-1+i\left(a^2+b^2+a-b\right)}{a^2+b^2-2a+1}</math>이고, <math>\Im\left(z\right)=\frac{a^2+b^2+a-b}{\left(a-1\right)^2+b^2}>0</math>이다. 이는 곧 <math>z\in\mathbb{H}^2</math>임을 의미한다. 이제, <math>\left|M\left(z\right)\right|^2=\frac{\left|iz+1\right|^2}{\left|z+i\right|^2}=\frac{\left|i\right|\left|z-i\right|^2}{\left|z+i\right|^2}\leq1</math>가 참임을 보여야 하는데, 잘 정리해주면 <math>y=\Im\left(z\right)\geq0,\,\,\,\left(z=x+yi\right)</math>가 나오고, 이는 참인 명제이므로 <math>\left|M\left(z\right)\right|\leq1</math>를 얻는다. 만약 <math>\left|M\left(z\right)\right|=1</math>이면 <math>y=0</math>인데, 이 경우에는 <math>z\in\partial\mathbb{H}^2</math>이므로 경계선은 경계선으로, 내부의 점은 내부의 점으로 변환됨을 확인할 수 있다. 따라서, <math>M</math>는 전사 함수이다.}} 힐베르트 평면에서 푸앵카레 원판으로 변환시키는 뫼비우스 변환 <math>M</math>이 일대일 대응임을 알았으므로, 푸앵카레 원판의 모든 것은 <math>M^{-1}</math>을 통해 힐베르트 평면에서 조사할 수 있다. 그렇기 때문에 푸앵카레 원판에 대해 더 분석하는 것은 큰 의미가 없으니, 몇 가지 중요한 점만 짚자. #경로의 길이 #:<math>\int_0^1\frac{2\left|\gamma'\left(t\right)\right|}{1-\left|\gamma\left(t\right)\right|^2}\mathrm{d}t</math>로 정의된다. 아니면 <math>M^{-1}</math>을 이용해 힐베르트 평면으로 바꾼 뒤, 힐베르트 평면에서 길이를 구하자. #측지선 #:힐베르트 평면의 측지선은 양끝점이 실사영선 위에 존재한다. 실사영선은 단위원으로 변환되므로, 푸앵카레 원판의 측지선은 단위원 위에 끝점이 존재하게 된다. 허수축은 <math>-i</math>와 <math>i</math>를 잇는 수직선으로 변환되며, 나머지 측지선들은 단위원에 직교하는 [[호 (수학)|호]]로 변환된다. #등거리 사상 #:힐베르트 평면과 비슷하게, 쌍곡, 포물선, 타원 변환이 존재한다. 세 변호나 전부 힐베르트 평면과 크게 다르지 않으므로 자세한 설명은 생략. 한편, 힐베르트 평면의 타원 변환은 <math>f\leftrightarrow\begin{bmatrix}\cos\theta&&-\sin\theta\\\sin\theta&&\cos\theta\end{bmatrix}</math>와 닮았는데, <math>M\circ f\circ M^{-1}</math>(<math>M</math>에 관한 켤레)를 계산해주면, <math>\begin{bmatrix}-2\cos\theta+2\sin\theta&&0\\0&&-2\cos\theta-2\sin\theta\end{bmatrix}\leftrightarrow\frac{-2e^{-i\theta}z}{-2e^{i\theta}}=e^{-2i\theta}z</math>가 나온다. 최종 결과값은 복소 평면에서 원점을 기준으로 <math>-2\theta</math>만큼 회전시키는 변환인데, 힐베르트 평면의 타원 변환의 회전 각도가 <math>\theta</math>가 아닌 <math>-2\theta</math>인 이유는 바로 이 때문. 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț