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[[구면 기하학]]의 삼각형이 180° 보다 큰 내각의 합을 가졌고, 넓이가 <math>\left(\alpha+\beta+\gamma\right)-\pi</math>인 것과는 대조적. 우선, 이 사실을 증명하기 전에 힐베르트 평면에서 넓이를 어떻게 정의하는지 알아보자. ;정의 {{인용문2|힐베르트 평면에 존재하는 공간을 <math>R</math>이라 하자. 이 공간의 넓이는 <math>\underset{R}{\iint}\frac{1}{y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y</math>로 정의한다.}} 상당히 특이해 보이는 정의일 수 있는데, 힐베르트 평면에서 길이를 어떻게 정의했는지 잘 생각한다면 이해가 갈 것이다. 그래도 모르겠다면, 우선 <math>\underset{R}{\iint}1\mathrm{d}x\mathrm{d}y</math>는 일반적인 유클리드 평면에서의 넓이이다. 그리고 힐베르트 평면에서 길이를 구할 때 허수부의 값으로 나눠주었다. 그런데 넓이는 2차원이므로, 허수부의 값을 제곱해서 나눠줘야 할 것이다. 넓이를 <math>y^2</math>으로 나눠주는 이유는 바로 그 때문. 이제 [[삼각형]]의 넓이를 구할 것인데, 한 번에 바로 구하는 것이 아니라 여러 단계에 걸쳐서 조금씩 구할 것이다. 우선 '''이상 삼각형(Ideal Triangle)'''을 정의하자. ;정의 [[파일:ideal triangle.png|thumb|right|이상 삼각형]] {{인용문2|삼각형의 세 꼭짓점이 <math>\partial\mathbb{H}^2=\mathbb{RP}^1</math> 위에 존재하는 삼각형을 이상 삼각형이라 정의한다. 꼭짓점은 '''이상 꼭짓점(Ideal Vertex)'''이라 부른다.}} 믿기진 않겠지만, 오른쪽 그림에 있는 이상하게 생긴 것들이 삼각형이다(...). R1은 세 꼭짓점이 실수인 삼각형이고, R2는 한 꼭짓점이 무한대 점인 경우. 일단 이상 삼각형의 넓이를 먼저 구해보자. ;보조 정리 1 {{인용문2|이상 삼각형의 넓이는 전부 <math>\pi</math>이다.}} {{숨기기|증명| 임의의 이상 삼각형 R1을 생각하자. R1의 꼭짓점의 좌표가 <math>p,q,r</math>이라면, 적당한 뫼비우스 변환이 존재하여 <math>p,q,r\mapsto-1,1,\infty</math>을 할 수 있다. 변환된 삼각형을 R2라 하자. 그런데 뫼비우스 변환은 등거리 사상이라 넓이를 보존하므로, R1과 R2의 넓이는 같다. 이제 넓이를 구해보자.<br /><math>R2=\underset{R2}{\iint}\frac{1}{y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{-1}^1\int_{\sqrt{1-x^2}}^\infty\frac{1}{y^2}\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\int_{-1}^1\left[-\frac{1}{y}\right]_{\sqrt{1-x^2}}^\infty\mathrm{d}x=\int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\left[\arcsin x\right]_{-1}^1=\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\pi</math><br />따라서, 임의의 이상 삼각형의 넓이는 <math>\pi</math>이다.}} ;보조 정리 2 [[파일:area ideal triangle.png|thumb|right|이상 꼭짓점이 있는 삼각형]] {{인용문2|오른쪽 그림에서, R1과 R2의 넓이는 각각 <math>\pi-\alpha,\pi-\left(\alpha+\beta\right)</math>이다.}} {{숨기기|증명| 우선 R1의 넓이부터 구하자. 이상 꼭짓점이 아닌 꼭짓점의 각도를 <math>\alpha</math>라고 하자. 그 꼭짓점에서 수직선을 긋고, 실수축과 만나는 점을 <math>a</math>라 하자. 이제, R1의 넓이를 정의를 이용하여 구하자.<br /><math>R1=\int_{-1}^a\int_{\sqrt{1-x^2}}^\infty\frac{1}{y^2}\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\arcsin a+\frac{\pi}{2}</math>. 한편, <math>\sin\alpha'=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=a</math>이므로, <math>\arcsin a=\frac{\pi}{2}-\alpha</math>이다. 따라서, <math>R1=\pi-\alpha</math>. 한편, 두 개의 이상 꼭짓점을 가진 삼각형은 뫼비우스 변환을 통해 R1과 비슷하게 바꿀 수 있다. 따라서, 두 개의 이상 꼭짓점을 가진 삼각형의 넓이는 <math>\pi-</math>(한 내각) 이다.<br />R2의 넓이는 R1과 비슷하게 구할 수 있다. 중간 계산을 생략하면, <math>R2=\arcsin a-\arcsin b=\left(\frac{pi}{2}-\alpha\right)-\left(\beta-\frac{\pi}{2}\right)=\pi-\left(\alpha+\beta\right)</math>이다. 마찬가지로, 한 개의 이상 꼭짓점을 가진 삼각형은 뫼비우스 변환을 통해 R2와 비슷한 모양으로 바꿀 수 있다. 따라서, 한 개의 이상 꼭짓점을 가진 삼가형의 넓이는 <math>\pi-</math>(두 내각의 합) 이다.}} ;정리 [[파일:area hyperbolic triangle.png|thumb|right|힐베르트 평면의 삼각형]] {{인용문2|삼각형의 세 내각을 <math>\alpha,\beta,\gamma</math>라고 했을 때, 삼각형의 넓이는 <math>\pi-\left(\alpha+\beta+\gamma\right)</math>이다.}} {{숨기기|증명| 뫼비우스 변환을 통해, 한 꼭짓점을 <math>i</math>로, 다른 한 꼭짓점을 허수축 위로(<math>ai</math>), 마지막 꼭짓점의 실수부가 양수가 되게 옮길 수 있다(<math>b>0</math>). 이제, R1을 <math>i,b+ci,\infty</math>를 꼭짓점으로 갖는 삼각형, R2를 <math>ai,b+ci,\infty</math>를 꼭짓점으로 갖는 삼각형이라 하자. 그러면, <math>R=R1-R2</math>이다. 한편, 보조 정리 2에 의해 <math>R1=\pi-\left(\alpha+\beta+\delta\right),R2=\pi-\left(\pi-\gamma+\delta\right)</math>이고, 따라서 <math>R=\pi-\left(\alpha+\beta+\gamma\right)</math>이다.}} ;따름 정리 {{인용문2|힐베르트 평면에서 삼각형의 세 내각의 합은 0°보다 크고 180° 보단 작다.}} {{숨기기|증명| 세 내각의 합을 <math>A</math>라 하자. 삼각형의 넓이는 양수이므로, <math>\pi-A>0</math>에서 <math>A<\pi</math>를 얻는다. 또한, 세 내각의 합은 양수이므로, <math>0< A</math>이다. 정리하면 <math>0< A<\pi</math>이다.}} 삼각형의 넓이를 구했다면, 이젠 [[삼각함수]]로 넘어갈 차례. [[구면 기하학]]만의 [[사인 법칙]]과 [[코사인 법칙]]이 존재했듯이, 힐베르트 평면에서도 고유한 사인 법칙과 코사인 법칙이 존재한다. 증명은 생략하고, 결과만 알아놓자. ;코사인 법칙 {{인용문2| #<math>\cos\alpha=\frac{-\cosh\left(a\right)+\cosh\left(b\right)\cdot\cosh\left(c\right)}{\sinh\left(b\right)\cdot\sinh\left(c\right)}</math> #: #<math>\cos\beta=\frac{-\cosh\left(b\right)+\cosh\left(c\right)\cdot\cosh\left(a\right)}{\sinh\left(c\right)\cdot\sinh\left(a\right)}</math> #: #<math>\cos\gamma=\frac{-\cosh\left(c\right)+\cosh\left(a\right)\cdot\cosh\left(b\right)}{\sinh\left(a\right)\cdot\sinh\left(b\right)}</math>}} ;사인 법칙 {{인용문2|<math>\frac{\sinh\left(a\right)}{\sin\alpha}=\frac{\sinh\left(b\right)}{\sin\beta}=\frac{\sinh\left(c\right)}{\sin\gamma}</math>}} 수학에 관심이 있는 사람이라면, <math>\cosh,\sinh,\tanh</math>를 [[쌍곡함수]]라 부르고, [[삼각함수]]와 비슷한 성질을 가진다는 것을 알 것이다. 그 이유가 여기서 밝혀지는데, 쌍곡 기하학에서 쓰여서 쌍곡 함수인 것이고, 쌍곡 기하학의 삼각 함수에서 쓰이기 때문에 삼각 함수와 비슷한 성질을 가지는 것이다. 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț