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[[유클리드 공간]](Euclidean Space)의 경우 선형독립(Linearly independent)인 벡터의 개수로 정의되며, 다양체(Manifold)읙 경우는 다양체와 국소적으로 [[위상동형]](homeomorphic)인 유클리드 공간의 차원으로 정의되며, 다양체들의 합집합으로 구성된 도형의 경우 가장 차원이 높은 다양체의 차원이 도형의 차원으로 정의되어 쉽게 정의된다. === 르베그 덮개 차원 === {{본문|Wikipedia:Lebesgue Covering Dimension}} 하지만 [[프랙탈]] 도형 등 가산개의 국소적으로 유클리드 공간과 위상동형인 도형으로 표현할 수 없는 경우에는 이 방법으로 차원을 정의하기 난감해진다. 그럴 때에는 [[르베그 덮개 차원]](Lebesgue Covering Dimension)을 이용해서 정의한다. 어떤 집합 X에 대한 열린 덮개(Open Cover) <math>\mathcal{C}</math>가 있을 때 아래와 같은 성질을 만족하는 열린 덮개의 세분(refinement) <math>\mathcal{U}</math>가 존재할 때 X의 르베그 덮개 차원은 n차원이 된다. 즉 임의의 열린 덮개를 정의해도 X위의 모든 점 x에 대해 x를 포함하는 열린집합이 n+1개를 넘지 않는 세분이 존재하면 된다. <math>\max_{x \in X} \vert \{V \ni x| V \in \mathcal{U} \} \vert = n+1 </math> 얼핏 봐서는 상당히 이해하기 힘든 개념이기에 아래의 도형을 한 번 생각해보자. 아래의 정사각형의 경우, 열린 덮개를 아무리 잡아도 기껏해야 한 점을 포함하는 열린집합이 3개 이하인 세분(refinement)을 만들 수 있다. 그러나 열린 덮개의 최대한의 교차하는 숫자가 2가 되게 만들려고 하면 아래와 같이 빈 공간이 생긴다. 즉 사각형의 르베그 덮개 차원은 2이다. [[파일:Refinement on a planar shape.png|400px]] === 하우스도르프 차원 === {{본문|Wikipedia:Hausdorff dimension}} [[프랙탈]] 도형의 경우에는 특별히 하우스도르프 차원(Hausdorfff Dimension)이라고 부르는 다른 차원이 존재한다. 이는 프랙탈 도형에서 반복되는 도형의 갯수와 나눈 갯수를 이용해서 구할 수 있다. 이 경우에는 차원의 값이 정수가 아닌 소수로 나올 수 있다. 대략적인 정의를 살펴보자면 <math>\dim X = \frac{\ln (\text{Number of self-similar objects})}{\ln (\text{Ratio of measures of original objects related to partitoned objects})}</math> 역시 아래와 같이 정사각형을 보면 가로/세로로 2등분할 때에 원래의 정사각형과 닮은꼴인 4개의 정사각형이 나타나므로 하우스도르프 차원은 ln4/ln2 = 2로 나온다. 다른 예를 들어본다. [[칸토르 집합]](Cantor Set)의 경우, 폐구간의 가운데 1/3을 계속해서 제거하는 방식으로 만들 수 있는데, 이 경우는 원래의 크기의 1/3 측도를 가진 도형이 2개가 있는 꼴이므로 하우스도르프 차원은 ln2/ln3≒0.6309... 차원이 나온다. 또 다른 예로 [[시에르핀스키 삼각형]](Sierpinski Triangle)의 경우 정삼각형을 4등분한 뒤에 가운데 삼각형을 제거하는 방식으로 만들어지는데, 이 경우는 원래의 크기의 1/2 측도를 가진 도형이 3개가 있는 형태이므로 하우스도르프 차원은 ln3/ln2≒1.5849...차원이 나온다. == 도형의 종류 == 도형의 차원에 따라서 점(0), 선(1), 면(2), 입체(3), 초입체(≥4) 등으로 분류할 수 있다. 또한 도형 중에서 모든 점에서 국소적으로 매끄러운(smooth) 도형과 그렇지 않은 도형이 있으며, 특히 모든 점에서 국소적으로 동일한 차원의 [[유클리드 공간]]과 [[위상동형]]이 되는 매끄러운 도형을 [[다양체]](Manifold)라고 부른다. == 차원에 따른 분류 == === [[점]] == 0차원 도형이다. 점은 길이나 부피 등의 어떠한 측도도 갖지 않는다. 점들이 유한개 모인 것도 도형이며, === [[선]] === 1차원 도형으로 점들이 이루어진 도형이다. * [[직선]] (Straight Line)- 유클리드 공간에서 하나의 방향으로 한결같이 연결된 선을 말한다. ** [[선분]] (Line Segment) - 양 끝이 존재하는 직선을 말한다. 일반적으로는 방향을 정의하지 않으나 시작점과 끝점을 정의하는 유향선분(Directed Line Segment)도 존재한다. ** [[반직선]] (Ray) - 한쪽 방향은 끝이 있으며, 다른 쪽 방향은 무한정 연장되는 선을 말한다. * [[측지선]](Geodesic) 유클리드 공간이 아닌 경우에는 유클리드 공간의 직선에 상응하는 것을 정의할 수 없기에 방향벡터의 변화가 없는 측지선이라는 개념을 대신 사용한다. * [[곡선]] (Curve) - 직선이 아닌 임의의 선을 말한다. 특정한 점에서 곡선의 방향은 곡선의 점에서 국소적으로 일치하는 직선의 방향으로 정의하며, 방향이 연속적으로 바뀌는 곡선을 부드러운 곡선(smooth curve)라고 부른다. * 평면도형의 변, 좌표평면의 그래프가 대표적으로 선 형태의 도형이다. === 2차원 도형 === * [[평면]](Plane) - 2개의 서로 교차하고 방향이 다른 직선 l, m에 대해 직선 l의 점 위에서 직선 m과 평행하거나 일치한 직선들을 모을 때 생기는 도형을 말한다. 직관적으로 말해서는 임의의 방향으로 곧게 연장한 것이 모두 직선이 되는 2차원 도형을 말한다. * [[곡면]](Surface) - 국소적으로 평면과 위상동형(homeomorphic)인 2차원 도형을 말한다. 특히 임의의 방향으로 연장한 곡선들이 모두 부드러운 곡선을 이루면 부드러운 곡면(Smooth surface)이라고 부른다. 특별히 국소적으로 완전한 평면을 이루는 경우 평평한 표면(flat surface)이라고 부른다. * 평면도형 - 평면 위에서 정의된 도형이며, 속이 꽉찬 도형을 가리키는 경우가 많다. ** [[정다각형]] ** [[원 (도형)|원]] ** [[폴리오미노]] === 3차원 도형 === * 공간(Flat Space) - 서로 교차하고 선형 독립인 직선 l,m,n의 선형 생성(Linear Span)이다. 우리가 흔히 말하는 좌표공간이 대표적인 공간이다. * 공간도형 - 공간 위에서 정의된 도형이며, 역시 평면도형과 마찬가지로 속이 꽉 찬 도형을 가리키는 경우가 많다. ** [[정다면체]] ** [[구 (도형)|구]] === 초입체 === 4차원 이상의 도형을 말한다. == 다른 분류 == * 경계의 유무 - 경계가 있는 유계(bounded) 도형과 경계가 없는 무계(unbounded) 도형이 있다. * 위상학적인 성질 - 위상학적으로 닫혀 있는 경우 닫힌 도형(closed shape)이라고 하고, 열려 있는 경우 열린 도형(opened shape)이라고 부른다. 예를 들면 우리가 흔히 보는 도형들의 경우 경계(boundary)를 포함한 도형이나 그 도형의 경계 그 자체는 닫힌 도형이 되고, 경계를 제외한 부분만으로 이루어진 도형들은 열린 도형이 된다. == 유클리드 공간 == {{본문|유클리드 공간}} 유클리드 공간은 유한 개 또는 무한 개의 선형 독립(linearly independent)인 벡터들의 == 다양체 == {{본문|다양체}} 다양체는 국소적으로 [[ {{각주}} [[분류:도형| ]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:본문 (원본 보기) (준보호됨)