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[[수학]]에서의 의미에 대입해보면, 무언가가 궁극적으로 ''다가가는'' 값을 말한다고 생각할 수 있다. 극한은 [[미적분학]]과 [[해석학]]의 시작에 해당하는 매우 중요한 개념이고, 이 직관적인 의미 자체는 고대에도 알려져 있었다. == 역사 == [[아르키메데스]]의 [[원 (도형)|원]]의 넓이를 구하는 방법이나, [[제논의 역설]] 등을 보면 고대 그리스 시대부터 무한이라는 개념은 존재했다는 사실을 알 수 있다. 물론 그 당시에는 이를 수학적으로 엄밀하게 정의할 생각은 하지 않았다. 시간이 흘러 뉴턴이 이 무한이라는 개념을 사용한 극한이라는 개념을 생각하고, 극한을 사용해 [[미적분학]]의 기초를 만든다. 뉴턴을 비롯한 다른 학자들은 극한값을 구하는 것에만 치중하였지, 극한에 대한 엄밀한 성질은 생각하지 않았다. 그래서인지 <math>\lim</math>와 <math>\int</math>를 교환을 하는 등, 현대의 수학에서는 (일반적으로) 틀린 성질들을 사용하였다. {{ㅊ|수학자들이 물리학자들을 까는 이유}}<ref>참고로 극한과 적분을 교환하기 위해서는 uniform convergence가 필요하다.</ref> [[푸리에]]는 푸리에 급수의 균등수렴성을 증명하지 못하였지만 그대로 식을 사용하였고, [[칸토어]]는 이를 연구하다가 [[소박한 집합론]]을 만들었다. {{ㅊ|...?}} 이후에 모든 점에서 불연속인 [[디레클레 함수]], 모든 점에서 연속이지만 모든 점에서 미분이 불가능한 [[바이어슈트라우스 함수]] 등의 극한의 직관적인 이해만으로는 제대로 설명할 수 없는 문제점들이 발견되었고, 이에 따라 수학적으로 엄밀한 극한의 정의가 필요하게 되었다. 엄밀한 극한의 정의는 [[볼차노]]에 의해 기초가 다져진 뒤, [[코시]]와 [[바이어슈트라스]]에 의해 완성되었다. 이 정의가 바로 그 유명한 <math>\varepsilon\text{-}\delta</math> 논법. == 수열의 극한 == {{참조|수열의 극한}} 수열의 극한은 엡실론-델타와는 살짝 다른 <math>\varepsilon\text{-}N</math> 논법을 사용한다. 물론 기본적인 골자는 같다. == 함수의 극한 == {{참조|함수의 극한}} 직관적으로, 함수의 변동폭이 매우 작아져 어느 한 점으로 가까이 갈 때, 그 '''목적지'''를 '''극한(값)'''이라고 한다. [[엡실론-델타 논법]]이나, [[근방]]과 [[위상]] 개념으로 정의된다. 극한의 유일성은 [[하우스도르프 공간]]에서 보장된다. 적절한 조건 하에서 함수의 극한을 수열의 극한으로 바꿀 수 있어, 계산을 편하게 할 수 있다. 예를 들어, <math>\lim_{x \to 0} x</math>를 구할 때{{ㅊ|0이잖아}} '''수렴성이 가정'''된다면 <math>x = 1/n \quad (n \in \mathbb N)</math>으로 바꾸어 <math>\lim_{x \to 0} x = \lim_{n \to \infty} 1/n = 0</math> 등으로 구할 수 있다는 것이다. == 범주론적인 극한 == {{참조|범주론적 극한}} 범주론에서, [[범주론적 극한|극한]]은 (category의 object들의) [[곱 (범주론)|곱]], [[당김 (범주론)|당김]](pullback), [[역극한]](inverse limit) 등의 공통적인 [[universal property]]를 말하기 위해 만들어진 개념이다. 물론, 범주론적 극한은 위의 모든 극한을 '''모두 포함한다.''' 즉, 위상적인 극한은 범주론적 극한의 특수한 경우이다. 극한의 정의는 '''universal cone'''이다. 풀어 설명하면 주어진 '''[[다이어그램 (범주론)|다이어그램]] <math>F:\; J \to \mathscr C</math>의 극한'''은, 어떤 [[뿔 (범주론)|뿔]](cone)의 object, 임의의 뿔(non-universal cone) <math>(N, \psi)</math>와 어떤 뿔(universal cone) <math>(L, \varphi)</math>에 대하여 둘의 object 사이에 <math>N, L, F(X)</math> (F(X)는 주어진 다이어그램의 object)로 이루어진 아래 다이어그램을 가환하게 하는 사상 <math>u: \; N \to L</math>('''factorization''')이 유일하면(∃!u∀F(X)): <div align="center"> <math>\require{AMSmath} \require{AMSsymbols} \newcommand\mapright[2][]{\xrightarrow[#1]{ #2 }} \newcommand\mapleft[2][]{\xleftarrow[#1]{ #2 }} \newcommand\mapdown[2][]{\llap{\raise2pt{\scriptstyle{ #1 }}}\Big\downarrow\rlap{\raise2pt{\scriptstyle{ #2 }}}} \newcommand\mapup[2][]{\llap{{\scriptstyle{ #1 }}}\Big\uparrow\rlap{{\scriptstyle{ #2 }}}} \newcommand\mapdownright[2][]{\vcenter{\kern5pt\raise.5pt\rlap{\lower6pt{\scriptstyle#1}}\kern2pt\diagdown\kern-.42em\lower.63em{\searrow}\raise-.5pt\kern-2pt\llap{\raise1.5pt{\scriptstyle#2 \kern.1pt}}}} \newcommand\mapdownleft[2][]{\vcenter{\kern9pt\rlap{\lower6pt{\scriptstyle#1}}\kern-14pt\kern1em\diagup\kern-1.6em\lower.63em{\swarrow}\llap{\raise2pt{\scriptstyle #2\kern2pt}}}} \newcommand\mapupleft[2][]{\vcenter{\kern3pt\raise.5pt\rlap{\lower6pt{\scriptstyle#1}}\kern-4pt\nwarrow\kern-.64em\lower.63em{\diagdown}\raise-.5pt\kern-2pt\llap{\raise1.5pt{\scriptstyle#2 \kern4pt}}}} \newcommand\mapupright[2][]{\vcenter{\kern6pt\rlap{\lower6pt{\scriptstyle#1}}\kern-18pt\kern1em\nearrow\kern-1.9em\lower.63em{\diagup}\llap{\raise2pt{\scriptstyle #2\kern2pt}}}} \begin{array}{ccc} N & \mapright{\exists ! u} & L \\ & \mapdownright[\psi_X] {} & \mapdown{\varphi_X} \\ & & F(X) \\ \end{array} </math> </div> 그때의 뿔 <math>(L, \varphi)</math>를 다이어그램(covariant functor) <math>F</math>의 '''극한'''이라고 한다. 즉, 다음을 가환하게 하는 <math>L</math>이다. <div align="center"> <math>\require{AMSmath} \require{AMSsymbols} \newcommand\mapright[2][]{\xrightarrow[#1]{ #2 }} \newcommand\mapleft[2][]{\xleftarrow[#1]{ #2 }} \newcommand\mapdown[2][]{\llap{\raise2pt{\scriptstyle{ #1 }}}\Big\downarrow\rlap{\raise2pt{\scriptstyle{ #2 }}}} \newcommand\mapup[2][]{\llap{{\scriptstyle{ #1 }}}\Big\uparrow\rlap{{\scriptstyle{ #2 }}}} \newcommand\mapdownright[2][]{\vcenter{\kern5pt\raise.5pt\rlap{\lower6pt{\scriptstyle#1}}\kern-2pt\diagdown\kern-.42em\lower.63em{\searrow}\raise-.5pt\kern-2pt\llap{\raise1.5pt{\scriptstyle#2 \kern.1pt}}}} \newcommand\mapdownleft[2][]{\vcenter{\kern9pt\rlap{\lower6pt{\scriptstyle#1}}\kern-14pt\kern1em\diagup\kern-1.6em\lower.63em{\swarrow}\llap{\raise2pt{\scriptstyle #2\kern2pt}}}} \newcommand\mapupleft[2][]{\vcenter{\kern3pt\raise.5pt\rlap{\lower6pt{\scriptstyle#1}}\kern-4pt\nwarrow\kern-.64em\lower.63em{\diagdown}\raise-.5pt\kern-2pt\llap{\raise1.5pt{\scriptstyle#2 \kern4pt}}}} \newcommand\mapupright[2][]{\vcenter{\kern6pt\rlap{\lower6pt{\scriptstyle#1}}\kern-18pt\kern1em\nearrow\kern-1.9em\lower.63em{\diagup}\llap{\raise2pt{\scriptstyle #2\kern2pt}}}} \begin{array}{ccc} &N&\\&\mapdownleft{\psi _X } \quad \quad \mapdown{\exists ! u} \quad \mapdownright{ \psi _Y } & \\ F(X) &\mapleft{\varphi_X} \quad L\quad \mapright{\varphi_Y} & F(Y) \\ &\underset{F(f)}{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!- \!\!\!\mapright{ }} & \end{array} </math> </div> 기존의 극한 개념으로 봤을 때 참으로 뜬금없는 정의인데, 이것이 어떻게 위상적인 극한과 연결되는지를 알고 싶으면 [[범주론적 극한|문서 참조]]. == 관련 항목 == *[[수열의 극한]] *[[함수의 극한]] *[[해석학]] {{각주}} [[분류:해석학]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:ㅊ (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:다른 뜻 (원본 보기) (준보호됨)틀:다른뜻 (편집) 틀:참고 (원본 보기) (준보호됨)틀:취소선 (원본 보기) (준보호됨)