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ab=\{ta+(1-t)b: \; t \in [0,1]\} \rightarrow \mathbb R</math>이 <math>ab^\circ</math>(양 끝 점 제외)에서 미분 가능하고 <math>a, b</math>에서 연속이면, 다음이 성립하는 <math>c\in ab^\circ</math>이 존재한다: :<math>f(b) - f(a) = \nabla f(c)^{\mathrm T} (b-a).</math> 이때 우변은 두 벡터의 유클리드 내적이다. == 적분의 평균값 정리 == 연속함수 <math>f:\; \mathbb R^n \supseteq D\rightarrow \mathbb R</math>에 대하여 <math>D</math>가 nonempty compact connected subset이면, 다음이 성립하는 <math>c \in D</math>이 존재한다: :<math>f(c) \int_D \;\mathrm dx= \int_D f(x)\; \mathrm dx.</math> 이를 1차원의 경우로 약화하면 :<math>\left[\exists c \in (a,b) : \; f(c) (b-a)= \int _a ^b f(x) \;\mathrm d x\right]</math> for all real <math>a \ne b</math> 이 된다. === 증명 === 주어진 정의역에서 최댓값과 최솟값이 존재하므로([[최대-최소 정리]]), 이를 각각 <math>M</math>, <math>m</math>이라 하면 :<math>m \le f(x) \le M</math>, :<math>mA = \int_D m\; \mathrm dx \le \int_D f(x)\; \mathrm dx \le \int_D M\;\mathrm dx = MA</math> 인데 <math>A=\int_D \;\mathrm dx = 0</math>이면 주어진 명제가 성립하므로, 이 경우를 제외하고 생각하면 일반성을 잃지 않고 A > 0이므로 :<math>m \le \frac 1 A \int_D f(x)\; \mathrm dx \le M</math> 이고, 함숫값이 <math>M</math>과 <math>m</math>인 두 점을 이은 어떤 선 중 D에 속한 것(정의역이 연결집합이므로 D에 속하는 어떤 선이 존재한다.)을 t ∈ [0, 1]로 매개화하면 [[중간값 정리]]에 의하여 증명이 완료된다. === 일반화된 적분의 평균값 정리 === 연속함수 <math>f,g:\; \mathbb R^n \supseteq D\rightarrow \mathbb R</math>에 대하여 <math>D</math>가 nonempty compact connected subset이고 <math>g(x)</math>의 부호(nonnegative 또는 nonpositive)가 정의역 전체에서 일정한 적분가능 함수면, 다음이 성립하는 <math>c \in D</math>이 존재한다: :<math>f(c) \int_D g(x) \; \mathrm dx = \int_D f(x)g(x)\; \mathrm dx.</math> 이를 1차원의 경우로 약화하면 :<math>\left[\exists c \in (a,b) : \; f(c) \int_a^b g(x)\; \mathrm dx= \int _a ^b f(x) g(x)\; \mathrm d x\right]</math> for all real <math>a \ne b</math> 이 된다. 증명은 위와 거의 같다. == 활용 == === 함수의 증감 === 여러가지 활용이 있겠지만 가장 익숙한 것은 함수의 그래프를 그리는 방법일 것이다. :함수 <math>f</math>가 <math>\left(a, b\right)</math>에서 미분가능하고 <math>f'\left(x\right) \geq 0 </math>이면, <math>f</math>는 그 구간에서 증가한다. :함수 <math>f</math>가 <math>\left(a, b\right)</math>에서 미분가능하고 <math>f'\left(x\right) \leq 0 </math>이면, <math>f</math>는 그 구간에서 감소한다. ==== 증명 ==== <math>\left(a,b\right)</math>내에서 임의의 <math>x_1, x_2</math>를 <math>x_1< x_2</math>가 되게 잡는다. 그럼 <math>f</math>는 <math>\left[x_1, x_2\right]</math>에서 연속이고 <math>\left(x_1, x_2\right)</math>에서 미분가능하다. 따라서 평균값의 정리에 의해 <math>f'\left(x_0\right) = \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_2}</math>를 만족하는 <math>x_0</math>가 <math>\left(x_1, x_2\right)</math>내에 적어도 하나 존재한다. 또한 <math>x_2-x_1 > 0, f'\left(x_0\right) \geq 0</math>이므로 <math>f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right) \geq 0 </math>이다. 이것은 곧 <math>f\left(x_1\right) \leq f\left(x_2\right)</math>이고, <math>x_1, x_2</math>는 구간 내의 임의의 값이므로 <math>f</math>는 구간 내에서 증가한다. 비슷한 방법으로 함수의 감소에 대해 증명할 수 있다. === 연쇄법칙 === {{참조|연쇄법칙}} Chain Rule 이라고도 부르는 미분 법칙. :<math>\left(g\left(f\left(x\right)\right)\right)'=g'\left(f\left(x\right)\right)f'\left(x\right)</math> 좀 더 엄밀한 버전은 아래. :<math>\left[a,b\right]</math>에서 연속이고 <math>\left(a,b\right)</math>에서 미분가능한 함수 <math>f</math>와 <math>\text{Im}f</math>, 혹은 이를 포함하는 집합에서 정의된 함수 <math>g</math>를 생각하자. <math>f</math>가 <math>c</math>에서 미분가능하며 <math>g</math>가 <math>f\left(c\right)</math>에서 미분 가능하면, <math>g\left(f\left(x\right)\right)</math>는 <math>x=c</math>에서 미분 가능하며, <math>\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}g\left(f\left(x\right)\right)\right|_{x=c}=g'\left(f\left(c\right)\right)f'\left(c\right)</math>이다. 사실 연쇄 법칙은 평균값의 정리를 사용하지 않고 증명하는 것이 일반적인데, 그 이유는 평균값의 정리를 연쇄 법칙보다 나중에 배우기 때문. 증명은 생략한다. === 로피탈의 정리 === 코시의 평균값 정리를 사용하여 증명한다. 자세한 것은 [[로피탈의 정리]] 항목을 참조. [[분류:해석학]] [[분류:수학 정리]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:본문 (원본 보기) (준보호됨)틀:참고 (원본 보기) (준보호됨)