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[[페르마의 소정리]]에 의해, <math>2^{q-1}\equiv1\pmod q</math>이므로, <math>q\mid2^{q-1}-1</math>이다. <math>q\mid2^p-1</math>이기도 하므로, <math>q\mid\gcd\left(2^{q-1}-1,2^p-1\right)</math>이다. 한편, <math>\gcd\left(2^{q-1}-1,2^p-1\right)=2^{\gcd\left(q-1,p\right)}-1</math>이다.<ref><math>\gcd\left(2^a-1,2^b-1\right)=2^{\gcd\left(a,b\right)}-1</math>임을 [[유클리드 호제법]]을 사용하여 보일 수 있다.</ref> 따라서, <math>q\mid2^{\gcd\left(q-1,p\right)}-1</math>이다. 그런데 <math>p</math>가 소수이므로, <math>\gcd\left(q-1,p\right)</math>은 1 또는 <math>p</math>이다. 만약 <math>\gcd\left(q-1,p\right)=1</math>이라면, <math>q\mid2^{\gcd\left(q-1,p\right)}-1=2^1-1=1</math>이므로, <math>q</math>가 소수라는 가정에 모순된다. 따라서 <math>\gcd\left(q-1,p\right)=p</math>이고, <math>p\mid q-1</math>이다. 곧, 적당한 양의 [[정수]] <math>m</math>에 대해 <math>q-1=mp</math>이다. <math>q</math>가 홀수이므로,<ref><math>M_p</math>는 홀수이므로 2를 소인수로 가질 수 없다.</ref> <math>q-1</math>은 짝수이고, <math>p</math>는 홀수이므로, <math>m</math>은 짝수여야 한다. 즉, 적당한 양의 정수 <math>k</math>에 대해 <math>q=mp+1=2kp+1</math>이다. 마지막으로, <math>M_p</math>의 약수는 <math>M_p</math>의 적당한 소인수들의 곱이고, 임의의 소인수는 <math>2kp+1</math>의 형태이므로, 저 형태를 가진 소인수를 곱한 임의의 약수도 같은 형태이다. #* 예를 들어, 370052357은 소수이고 88940026013534293337은 \(2^{370052357}-1\)의 약수인데, \(88940026013534293337=2\cdot 120172219324\cdot 370052357+1\)임을 확인할 수 있다. #<math>n</math>이 짝수인 [[완전수]]<ref>자기 자신을 제외한 약수의 합이 자기 자신과 같은 수</ref>라면 <math>n=2^{m-1}\left(2^m-1\right)</math>이다 (단, <math>m\geq2</math>인 [[정수]], <math>2^m-1</math>은 (메르센) 소수). 이 명제의 역도 성립한다. #*<math>n=2^{m-1}\left(2^m-1\right)</math>이고, <math>m\geq2</math>인 정수, <math>2^m-1</math>은 소수라 가정하자. <math>2^m-1</math>은 홀수인 소수이므로, <math>\gcd\left(2^{m-1},2^m-1\right)=1</math>이다. 즉, <math>\sigma\left(n\right)=\sigma\left(2^{m-1}\right)\sigma\left(2^m-1\right)</math><ref><math>\sigma\left(n\right)</math>은 <math>n</math>의 양의 약수의 합. [[약수함수]]를 참조하라.</ref><ref><math>\sigma\left(n\right)</math>은 [[곱셈적 함수]]이므로 저렇게 쪼갤 수 있다. 자세한 것은 항목 참조.</ref><math>=\frac{2^m-1}{2-1}\left(2^m-1+1\right)=\left(2^m-1\right)2^m=2n</math>. 따라서, <math>n</math>은 완전수이다. #*역으로, <math>n</math>이 짝수인 [[완전수]]라 가정하자. 일단, 적당한 홀수 <math>t</math>와 1이상인 정수 <math>s</math>에 대해 <math>n=2^st</math>로 나타낼 수 있다.<ref>증명은 [[수학적 귀납법]]을 사용</ref> 그럼, <math>2n=2^{s+1}t=\sigma\left(n\right)=\sigma\left(2^st\right)</math>. <math>\gcd\left(2^s,t\right)=1</math>이므로, <math>\sigma\left(2^st\right)=\sigma\left(2^s\right)\sigma\left(t\right)=\left(2^{s+1}-1\right)\sigma\left(t\right)</math>이다. 따라서, <math>2^{s+1}t=\left(2^{s+1}-1\right)\sigma\left(t\right)</math>이고, <math>2^{s+1}\mid\left(2^{s+1}-1\right)\sigma\left(t\right)</math>임을 알 수 있다. 한편, <math>\gcd\left(2^{s+1},2^{s+1}-1\right)=1</math>이므로, <math>2^{s+1}\mid\sigma\left(t\right)</math>이다. 따라서, 적당한 정수 <math>q</math>에 대해 <math>\sigma\left(t\right)=q2^{s+1}</math>이고, <math>2^{s+1}t=\left(2^{s+1}-1\right)\sigma\left(t\right)=\left(2^{s+1}-1\right)qs^{s+1}</math>이다. 곧, <math>t=q\left(2^{s+1}-1\right)</math>. 여기서, <math>t+q=2^{s+1}q=\sigma\left(t\right)</math>임을 알 수 있다. 한편, <math>q\mid t,\,q\neq t</math>이므로, <math>q=1</math>이어야만 한다. 만약 아니라면, <math>t\mid t,q\mid t,1\mid t</math>이므로 <math>\sigma\left(t\right)\geq1+q+t</math>이라 모순이다. 따라서, <math>\sigma\left(t\right)=t+1</math>이고, 이는 곧 <math>t=2^{s+1}-1</math>가 소수임을 의미한다. 따라서, <math>n=2^st=2^s\left(2^{s+1}-1\right)</math>. 마지막으로, <math>s\geq1</math>이므로, <math>m=s+1\geq2</math>. #*이 성질은 곧 짝수인 [[완전수]]와 메르센 소수가 일대일 대응한다는 사실을 알려주며, 유클리드-오일러 정리라고도 부른다. 유클리드는 자신의 저서<ref>Euclid, Prop. IX.36</ref>에<math>2^m-1</math>이 소수면 <math>2^{m-1}\left(2^m-1\right)</math>이 완전수임을 증명하였다. 일대일 대응한다는 성질은 19세기에 와서야 오일러에 의해 증명되었다.<ref>Euler, Leonhard (1849), "De numeris amicibilibus"</ref> == 메르센 소수 목록 == {| class="wikitable" ! 순서 ! \(p\) ! 자리수 ! 발견 연도 및 발견자 |- | 1 | 2 | 1 | |- | 2 | 3 | 1 | |- | 3 | 5 | 2 | |- | 4 | 7 | 3 | |- | 5 | 13 | 4 | 1456 미상 |- | 6 | 17 | 6 | 1588 Cataldi |- | 7 | 19 | 6 | 1588 Cataldi |- | 8 | 31 | 10 | 1772 Euler |- | 9 | 61 | 19 | 1883 Pervushin |- | 10 | 89 | 27 | 1911 Powers |- | 11 | 107 | 33 | 1914 Powers |- | 12 | 127 | 39 | 1876 Lucas |- | 13 | 521 | 157 | 1952 Robinson |- | 14 | 607 | 183 | 1952 Robinson |- | 15 | 1279 | 386 | 1952 Robinson |- | 16 | 2203 | 664 | 1952 Robinson |- | 17 | 2281 | 687 | 1952 Robinson |- | 18 | 3217 | 969 | 1957 Riesel |- | 19 | 4253 | 1281 | 1961 Hurwitz |- | 20 | 4423 | 1332 | 1961 Hurwitz |- | 21 | 9689 | 2917 | 1963 Gillies |- | 22 | 9941 | 2993 | 1963 Gillies |- | 23 | 11213 | 3376 | 1963 Gillies |- | 24 | 19937 | 6002 | 1971 Tucker |- | 25 | 21701 | 6533 | 1978 Noll, Nickel |- | 26 | 23209 | 6987 | 1979 Noll |- | 27 | 44497 | 13395 | 1979 Nelson, Slowinski |- | 28 | 86243 | 25962 | 1982 Slowinski |- | 29 | 110543 | 33265 | 1988 Colquitt, Welch |- | 30 | 132049 | 39751 | 1983 Slowinski |- | 31 | 216091 | 65050 | 1985 Slowinski |- | 32 | 756839 | 227832 | 1992 Slowinski, Gage |- | 33 | 859433 | 258716 | 1994 Slowinski, Gage |- | 34 | 1257787 | 378632 | 1996 Slowinski, Gage |- | 35 | 1398269 | 420921 | 1996 Armengaud, Woltman, et al. |- | 36 | 2976221 | 895932 | 1997 Spence, Woltman |- | 37 | 3021377 | 909526 | 1998 Clarkson, Woltman, Kurowski, et al. |- | 38 | 6972593 | 2098960 | 1999 Hajratwala, Woltman Kurowski, et al. |- | 39 | 13466917 | 4053946 | 2001 Clarkson, Woltman, Kurowski et al. |- | 40 | 20996011 | 6320430 | 2003 Schafer |- | 41 | 24036583 | 7235733 | 2004 Findley |- | 42 | 25964951 | 7816230 | 2005 Nowak |- | 43 | 30402457 | 9152052 | 2005 Cooper, Boone |- | 44 | 32582657 | 9808358 | 2006 Cooper, Boone |- | 45? | 37156667 | 11185272 | 2008, Elvenich, Woltman, Kurowski, et al. |- | 46? | 42643801 | 12837064 | 2009 Odd Magnar |- | 47? | 43112609 | 12978189 | 2008 Smith, Woltman, Kurowski, et al. |- | 48? | 57885161 | 17425170 | 2013 Cooper, Woltman, Kurowski, et al. |- | 49? | 74207281 | 22338618 | 2016 Cooper, et al. |} == 외부 링크 == * [http://www.mersenne.org/ Great Internet Mersenne Prime Search - GIMPS] {{각주}} [[분류:정수론]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:Skin (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:둘러보기 상자 (원본 보기) (보호됨)틀:둘러보기 상자/핵심 (원본 보기) (보호됨)틀:소수 (편집) 틀:틀바 (원본 보기) (준보호됨)