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Matrix. *'''행렬'''(行列)은 여럿이 줄지어가는 모습을 뜻하는 말이기도 하다. == 정의 == 수나 식을 직사각형 모양으로 배열한 것. 가로줄을 행(low), 세로줄을 열(column)이라고 한다. 좀 더 수학적으로 정의하면 다음과 같다. <math>R</math>가 [[환 (수학)|환]]이고 모든 <math>i=1, 2, \cdots, m</math>과 <math>j=1, 2, \cdots, n</math>에 대하여 <math>a_{ij}\in R</math>일 때, <math>A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{bmatrix}</math>를 <math>R</math> 위의 <math>\left(m\times n\right)</math> 행렬이라고 부른다. <math>\left(m\times n\right)</math> 행렬 전체의 집합은 <math>M_{m, n}\left(R\right)</math>으로 나타낸다. <math>\mathcal M_{m, n}\left(R\right)</math>나 <math>\mathfrak M_{m, n}\left(R\right)</math>나 <math>\operatorname{Mat}_{m,n}\left( R \right)</math>처럼 나타내기도 한다. * 만일 <math>m=n</math>이면 <math>A</math>를 '''<math>n</math>차 정사각행렬(<math>n</math>‐th square matrix)'''이라고 한다. <math>n</math>차 정사각행렬 전체의 집합은 <math>M_{n, n}\left(R\right)</math> 또는 더 간편하게 <math>M_n\left(R\right)</math>로 나타낸다. ** 이때 n을 '''차수(order)'''라고 한다. ** 원소 <math>a_{11}, a_{22}, \cdots a_{nn}</math>을 포함하는 대각선을 '''주대각선(principal diagonal)'''이라고 한다. * 만일 <math>m=1</math>이면 '''행벡터(row vector)'''라고 한다. * 만일 <math>n=1</math>이면 '''열벡터(column vector)'''라고 한다. 행렬의 원소를 강조할 때는 <math>A=\left[ a_{ij} \right] = \left[ a_{ij} \right] _{m \times n}=\left( A \right) _{ij}</math>로 표기할 수 있다. == 구성 성분 == <math>A=\left(a_{ij}\right)</math>에서 <math>a_{ij}</math>를 행렬 <math>A</math>의 '''<math>\left(i, j\right)</math> 성분(<math>\left(i, j\right)</math>‐th component)''' 혹은 '''<math>\left(i, j\right)</math> 원소(<math>\left(i, j\right)</math>‐th entry)'''라고 한다. 위 행렬의 <math>\left(i, 1\right)</math> 성분부터 <math>\left(i, n\right)</math> 성분까지, 즉 다음 행렬 : <math>\begin{bmatrix} a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in} \end{bmatrix}</math> 을 행렬의 '''<math>i</math>번째 행벡터'''라고 하고(<math>i=1, 2, \cdots, m</math>), <math>[A]_i</math>로 적기도 한다. 또 행렬의 <math>\left(1, j\right)</math> 성분부터 <math>\left(m, j\right)</math> 성분까지, 즉 다음 행렬 : <math>\begin{bmatrix} a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots\\ a_{mj} \end{bmatrix}</math> 을 행렬의 '''<math>j</math>번째 열벡터'''라고 하고(<math>j=1, 2, \cdots, n</math>), <math>[A]^j</math>로 적기도 한다. 위 행벡터, 열벡터를 이용해서 행렬을 다음과 같이 나타내기도 한다. : <math>A =\begin{bmatrix} - &[A]_1& -\\ - &[A]_2& -\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ - &[A]_m& - \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} {|} & {|} & {\cdots} & {|} \\ {[A]^{1}} & {[A]^{2}} & {\cdots} & {[A]^{n}} \\ {|} & {|} & {\cdots} & {|} \end{bmatrix}</math> == 행렬의 성질 == === 연산 === ==== 덧셈과 뺄셈 ==== 행렬의 덧셈과 뺄셈은 행렬의 크기가 같을 때만 정의된다. 행렬의 덧셈·뺄셈 얘기가 나올 때 ‘크기가 맞을 때’라고 하면 이 조건을 의미하는 것이다. 행렬 <math>A, B</math>가 <math>\left(m\times n\right)</math>행렬일 때, 행렬의 덧셈과 뺄셈을 다음과 같이 성분별로(componentwisely) 정의한다. 즉, * (덧셈) <math>A+B=\left(a_{ij}+b_{ij}\right)</math> * (뺄셈) <math>A-B=\left(a_{ij}-b_{ij}\right)</math> 예를 들어, <math>R=\mathbb{R}</math>이고 <math>A,B\in M_2(R)</math>에 대해 <math>A=\begin{bmatrix} 9 & -12\\ -5 & 3 \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} -2 & 7\\ 0 & 1 \end{bmatrix}</math>이면 : <math>\begin{align} A+B&=\begin{bmatrix} 9 & -12\\ -5 & 3 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -2 & 7\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 9+(-2) & -12+7\\ -5+0 & 3+1 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 7 & -5\\ -5 & 4 \end{bmatrix} \end{align}</math> 이며, <math>R=\mathbb{Z}_3</math>이고 <math>A,B\in M_2(R)</math>에 대해 <math>A=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1 \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} 2 & 2\\ 0 & 1 \end{bmatrix}</math>이면 : <math>\begin{align} A-B&=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 2 & 2\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 1-2 & 0-2\\ 2-0 & 1-1 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} -1 & -2\\ 2 & 0 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 2 & 0 \end{bmatrix} \end{align}</math> 환 <math>R</math>의 덧셈의 결합법칙과 교환법칙이 성립하기 때문에, 행렬의 덧셈에 대해 결합법칙과 교환법칙이 성립함은 자명하다. ==== <math>R</math>상수곱 ==== 고등학교에서는 너무 당연해서 말하지 않지만, 행렬의 <math>R</math>상수곱도 하나의 연산이 된다. 행렬 <math>A, B</math>가 <math>\left(m\times n\right)</math>행렬이고 <math>r\in R</math>일 때, 행렬의 <math>R</math>상수곱을 다음과 같이 성분별로(componentwisely) 정의한다. 즉, * (<math>R</math>상수곱) <math>rA=\left(ra_{ij}\right)</math> 행렬의 덧셈과 뺄셈에 대한 위 상수곱의 분배법칙이 성립함은 자명하다(환 <math>R</math>의 덧셈에 대한 환 <math>R</math>의 곱셈의 교환법칙이 성립하기 때문). 또, 위 상수곱은 환 <math>R</math>의 곱셈과도 compatible하다(환 <math>R</math>의 결합법칙 때문). 몇 가지만 더 확인하면 앞서 정의한 덧셈과 <math>R</math>상수곱에 대하여 <math>\left(m\times n\right)</math>행렬 전체의 집합 <math>M_{\left(m, n\right)}\left(R\right)</math>은 <math>R</math>[[가군]]이 되고, 특별히 <math>R</math>이 [[체 (수학)|체]]이면 <math>R</math>[[벡터공간]]이 됨을 금방 확인할 수 있다. ==== 곱셈 ==== 행렬의 곱셈은 앞 행렬의 행의 개수와 뒤 행렬의 열의 개수가 같을 때만 정의된다. 행렬의 곱셈 얘기가 나올 때 ‘크기가 맞을 때’라고 하면 이 조건을 의미하는 것이다. 행렬 <math>A</math>의 행 개수와 행렬 <math>B</math>의 열 개수가 같을 때, 두 행렬의 곱셈은 <math>A</math>의 각 행벡터와 <math>B</math>의 각 열벡터의 내적(inner product)을 원소로 가지는 행렬로 정의된다. 즉, 행렬 <math>A</math>가 <math>\left(m\times n\right)</math>행렬이고 <math>B</math>가 <math>\left(n\times r\right)</math>행렬일 때, 두 행렬의 곱 <math>C=AB</math>는 <math>\left(c_{ij}\right)=\left(\left[A\right] _i\cdot\left[B\right] ^j\right)</math>인 <math>\left(m\times r\right)</math>행렬이다. 행렬의 곱셈을 이렇게 일견 부자연스럽게 정의하는 데는 다 이유가 있다. 이는 [[선형대수학]]의 [[선형대수학의 기본 정리|기본 정리]], 즉 행렬과 [[선형사상]]은 같은 것이라는 명제를 배우고 나면 금방 이해할 수 있다. 가령 행렬<math>A,B</math>를 각 각 함수<math>L_1(\mathbf{x})=A\mathbf{x}, L_2(\mathbf{x})=B\mathbf{x}</math>로서 생각했을 때 우리가 위의 곱셈을 따른다면 두 함수의 합성은 <math>L_1 \circ L_2(\mathbf{x})=AB\mathbf{x}</math> 로서 나타나게 된다. 즉 함수의 합성을 곱의 계산으로 할 있게 되는 것이다! 행렬의 곱셈은 결합법칙은 만족하나 교환법칙은 성립하지 않는다. 한편 덧셈과 뺄셈에 대한 곱셈의 분배법칙은 성립한다. 앞서 정의한 덧셈과 <math>R</math>상수곱 그리고 지금 정의한 곱셈에 대하여 <math>n</math>차 정사각행렬 전체의 집합 <math>M_n\left(R\right)</math>은 <math>R</math>[[대수]](결합대수)가 됨을 보일 수 있다. == 특수한 행렬 == 아래 내용은 모든 행렬에서 정의된다. * '''영행렬(zero matrix)''' <math>O</math> *: 모든 원소가 0인 행렬로, 행렬의 덧셈의 [[항등원]]이다. * '''전치행렬(transpose of a matrix)''' <math>A^T</math> *: 원래 행렬의 행과 열을 뒤바꾼 행렬이다. 원래 행렬을 <math>A</math>에 대해 전치행렬을 <math>A^T</math>와 같이 표기한다. 자세한 내용은 [[전치행렬]]을 참조. 아래 내용은 정사각행렬에서만 정의된다. * '''단위행렬(identity matrix)''' <math>I</math> *: 주대각선(행 번호와 열 번호가 같은 원소들)이 1이고 나머지는 0인 행렬이다. 이는 정사각행렬의 곱셈의 [[항등원]]이 됨을 확인할 수 있다. [[고등학교]]에서는 <math>E</math>로도 많이 표기한다. * '''역행렬(inverse matrix)''' <math>A^{-1}</math> *: 어떤 행렬의 곱셈에 대한 [[역원]]을 말한다. 자세한 내용은 [[역행렬]]을 참조.<br />역행렬은 아무 때나 존재하는 것이 아니며, 역행렬이 존재하는 행렬을 '''가역행렬(invertible matrix)'''이라 한다. 단위행렬은 가역이고, 단위행렬의 역행렬은 자기 자신이다. [[선형대수학]]에서 어떤 행렬이 가역인 것과 동치인 조건을 엄청 많이 배울 수 있다. * '''멱영행렬(nilpotent matrix)''' *: 여러 번 거듭제곱하면 영행렬이 되는 행렬이다. 어떤 행렬이 멱영행렬이면 행렬의 차수가 <math>n</math>일 때 <math>n</math>번 이하로 거듭제곱하면 영행렬이 됨을 증명할 수 있다. 단위행렬은 멱영행렬이 아니고, 따라서 멱영행렬은 당연히 가역이 아니다. * '''대각행렬(diagonal matrix)''' *: 주대각선 외의 원소가 0인 행렬이다. 주대각선의 원소가 <math>a_1,a_2,\cdots a_n</math>일 때, 대각행렬을 <math>\operatorname{diag}\left(a_1,a_2,\cdots a_n\right)= \begin{pmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n \end{pmatrix}</math>로 표기한다. 자세한 내용은 [[대각행렬]]을 참조. * '''대칭행렬(symmetric matrix)''' *: <math>A = A^T</math>인 행렬이다. 모든 대각행렬은 당연히 대칭행렬이다. 모든 대칭행렬은 직교기저로써 대각화할 수 있다. * '''직교행렬(orthogonal matrix)''' *: <math>A A^T = A^T A = I</math>인 행렬이다. 직교행렬은 점곱을 보존하고, 나아가 길이와 거리도 보존한다. 아래 내용은 복소수체 <math>\mathbb{C}</math> 위의 행렬에 대해서만 정의된다. * '''켤레전치행렬(conjugate transpose matrix)''' <math>A^\ast</math> * '''정규행렬(normal matrix)''' *: <math>A A^\ast = A^\ast A</math>인 정사각행렬이다. 모든 정규행렬은 직교기저로써 대각화할 수 있다. * '''에르미트행렬(Hermitian matrix)''' *: <math>A = A^\ast</math>인 정사각행렬이다. 모든 에르미트행렬은 정규행렬이다. * '''유니터리행렬(unitary matrix)''' *: <math>A A^\ast = A^\ast A = I</math>인 정사각행렬이다. 유니터리행렬은 안곱을 보존하고, 나아가 길이와 거리도 보존한다. 모든 유니터리행렬은 정규행렬이다. {{주석}} [[분류:행렬| ]] [[분류:대수학]] [[분류:추상대수학]] [[분류:선형대수학]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:주석 (편집)