경고 : 최신판이 아닙니다. 이 문서의 오래된 판을 편집하고 있습니다. 이것을 저장하면, 이 판 이후로 바뀐 모든 편집이 사라집니다. 로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!{{학술}} Multiplication == 개요 == [[사칙연산]] 중 하나로, 초등학교에서 [[덧셈]]과 [[뺄셈]]을 배운 뒤에 배우게 된다. 초등학교에서 설명하는 곱셈의 발달 동기는, 2+2+…+2+2 (2가 22개)같은 식을 간단히 하기 위해서. 실제로, [[덧셈]]만으로 저걸 표현하려면 길게 쭉 늘어놔야하지만, 곱셈으로 표현하면 2×22로 짧게 표현할 수 있다. 표기법으로는 ×와 •를 사용한다. [[LaTeX]]로는 <code>\times</code>와 <code>\cdot</code>로 쓴다. 만약 미지수가 포함되어 있다면 기호를 아예 생략하기도 한다. \(2\times x\)나 \(2\cdot x\)로 쓰지않고 \(2x\)와 같이. 물론, 미지수가 아닌 두 숫자끼리는 '''반드시''' 기호를 표시해 줘야 한다. 만약 그렇지 않으면 22가 2×2인지 숫자 22인지 구별할 방법이 없게 된다. 유일한 예외는 두 숫자가 괄호로 구분되어 있을 때. \(2\times(2)\)를 그냥 \(2(2)\)로 표기해도 중의적인 의미를 가지지 않는다. <s>하지만 48÷2(9+3) 같은 경우를 방지하기 위해서 웬만하면 2(2) 같은 표현은 쓰지말자.</s> == 정의 == 기본적으로 0은 덧셈에 대한 [[항등원]], 1은 곱셈에 대한 [[항등원]]을 뜻한다. 그리고 \(-a\)는 \(a\)의 덧셈에 대한 역원원이다. 자연수의 곱셈을 제외하고는 [[환 (수학)|가환환]]에서 이루어지는 것으로 생각하자.<ref>[[체 (수학)|체]]도 가환환이다.</ref> === 자연수의 곱셈 === [[자연수]] \(n\)에 대해 \(na\)를 [[수학적 귀납법|귀납적]]으로 정의할 수 있다. *\(1\times a:=a\)<ref>[[항등원]]의 정의이기도 하다.</ref> *<math>\left(n+1\right)a:=na+a</math>. === 정수의 곱셈 === #\(a\times0=0\) #:<math>0\cdot a=\left(0+0\right)\cdot a=\left(0\cdot a\right)+\left(0\cdot a\right)</math>이다. 위 식의 양변에 <math>\left(0\cdot a\right)</math>의 [[덧셈]]에 관한 [[역원]]을 더해주면, <math>0\cdot a=0</math>. #:여기서 왜 [[0으로 나누기|0으로 나누는 것]]이 안 되는지 알 수 있다. 임의의 수 \(b\)에 대해서, \(b(1/b)=1\)이인데, \(b=0\)이면 좌변은 0이되고, 우변은 1이되어 0=1이 된다. 만약 0=1이 성립하는 zero ring이라면 저게 큰 문제가 되지 않지만, 우리가 일반적으로 사용하는 수 체계, 즉, [[체 (수학)|체]]에서는 <math>0\neq1</math>을 가정하고 시작하기 때문에 모순이 되기 때문. #\((-1)(-a)=a\) #:<math>0=0\times\left(-a\right)=\left(-1+1\right)\left(-a\right)=\left(-1\right)\left(-a\right)+\left(-a\right)</math>. 양변에 \(a\)를 더해주면, <math>a=\left(-1\right)\left(-a\right)</math>. #\((-1)a=-a\) #:<math>\left(-1\right)\left(-a\right)=a</math>의 양변에 -1을 곱하면, <math>\left(-1\right)\left(-1\right)\left(-a\right)=\left(-1\right)a</math>. 그런데 <math>\left(-1\right)\left(-1\right)=1</math>이므로, <math>\left(-1\right)a=-a</math>. 이제, <math>\left(-n\right)a=-\left(na\right)</math>로 정의하면, 모든 [[정수]]에 대해 곱셈이 정의된다. 위는 [[추상대수학]]적인 방법으로 정수의 곱셈을 정의한 것이고, [[해석학]]적인 방법으로 정수의 곱셈을 정의할 수도 있다. 기본적인 아이디어는 [[정수]]를 두 자연수의 차로 나타내는 것. 두 정수 \(x,\,y\)에 대해, 적당한 자연수 \(m,\,n,\,a,\,b\)가 존재하여 <math>x=m-n,\,y=a-b</math>로 나타낼 수 있다. 이 때, <math>xy := ma+nb-mb-na</math>로 정의하면, 정수에 대해 곱셈이 정의된다. === 유리수의 곱셈 === [[유리수]]의 곱셈은 [[정수]]의 곱셈을 조금 더 확장하여 얻는다. 먼저, 임의의 유리수를 두 정수의 쌍으로 나타낸다.<ref><math>\mathbb{Q}\cong\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^\times</math>이므로 가능하다.</ref> 그러니까, <math>\frac{a}{b}=\left(a,b\right)</math> 이런 식으로. 이 때, <math>\frac{a}{b}\times\frac{m}{n}=\left(a,b\right)\times\left(m,n\right):=\left(am,bn\right)=\frac{am}{bn}</math>로 정의한다. 뭔가 거창해 보이지만 분모는 분모끼리, 분자는 분자끼리 정수의 곱셈을 하라는 소리이다. === 실수의 곱셈 === [[실수]]의 곱셈의 정의는 [[데데킨트 절단]]이 들어가서 비전공자에겐 상당히 난해하게 보인다. 먼저 [[실수]]의 정의에 대해 간략하게 알고 가자. 먼저, 유리수의 진부분 집합 \(U\)가 있다고 하자. 만약 \(U\)가, #<math>x\in U</math>이고 <math>y> x</math>이면 <math>y\in U</math> #<math>U</math>는 가장 작은 원소를 갖지 않는다 위 두 성질을 만족하면 \(U\)를 <math>\mathbb{Q}</math>의 '''ray'''라 정의한다. 이 때, \(U\)의 여집합 <math>U'=\mathbb{Q}\setminus U</math>는 가장 큰 원소를 가질 수도, 가지지 않을 수도 있다. 만약 \(U'\)가 가장 큰 원소를 갖는다면 \(U\)를 type 1, 아니면 type 2라 부르기로 하자. \(U\)가 type 1이면, 적당한 유리수 \(r\)에 대해 <math>U=\left\{x\in\mathbb{Q}\mid x> r\right\}</math>임을 쉽게 알 수 있다. 이 때, \(U\)를 '''rational ray'''라 정의한다. 순서가 정의된 임의의 [[체 (수학)|체]] \(F\)에 대해, 모든 ray가 type 1이면 이 체 \(F\)를 '''complete'''하다고 부른다. 그런데 유리수의 집합 <math>\mathbb{Q}</math>는 complete하지 않다.<ref>증명은 대부분의 해석학 교제에 있으니 그 쪽을 참고.</ref> 즉, <math>\mathbb{Q}</math>는 type 2 ray를 갖게 되며, 이 ray를 '''irrational ray'''라 정의한다. 이제, [[실수]]를 <math>\mathbb{Q}</math>의 ray라 정의한다. {{ㅊ|'''뭔 개소리야'''}} 실수를 정의했으니 이제 실수의 곱셈을 정의할 수 있다. \(U,\,V\)를 두 실수(ray)라 할 때, 실수의 곱셈은 아래 네 가지 경우로 나눠 정의한다. #<math>0\not\in U,\,0\not\in V</math> #:<math>U\cdot V:=\left\{uv\mid u\in U\wedge v\in V\right\}</math> #<math>0\in U,\,0\not\in V</math> #:<math>U\cdot V:=\left\{r\in\mathbb{Q}\mid\exists u\in U\,\exists0\leq y\in V',\,r> uy\right\}</math> #<math>0\not\in U,\,0\in V</math> #:<math>U\cdot V:=\left\{r\in\mathbb{Q}\mid\exists0\leq x\in U'\,\exists v\in V,\,r> xv\right\}</math> #<math>0\in U,\,0\in V</math> #:<math>U\cdot V:=\left\{r\in\mathbb{Q}\mid\exists x\in U'\,\exists v\in V',\,r> xy\right\}</math> === 복소수의 곱셈 === [[복소수]]의 곱셈은 [[실수]]의 곱셈을 확장하여 얻는다. <math>i=\sqrt{-1}</math>라 할 때, 임의의 복소수는 적당한 두 실수 \(a,\,b\)에 대해 <math>a+bi</math> 꼴로 나타낼 수 있다. 두 복소수를 <math>z_1=a+bi,\,z_2=c+di</math>라 할 때, <math>z_1\cdot z_2:=\left(ac-bd\right)+\left(ad+bc\right)i</math>로 정의한다. == 곱셈의 기본 성질 == 가환환의 세 원소 \(a,\,b,\,c\)에 대해, 다음이 항상 성립한다. *분배법칙: <math>a\cdot\left(b+c\right)=\left(a\cdot b\right)+\left(a\cdot c\right)</math> *결합법칙: <math>\left(a\cdot b\right)\cdot c=a\cdot\left(b\cdot c\right)</math> *교환법칙: <math>a\cdot b=b\cdot a</math>. 만약 가환환이 domain이라면 아래 성질도 성립한다. *소거법칙: <math>a\cdot b=a\cdot c</math>이고 <math>a\neq0</math>이면, <math>b=c</math>. == 다른 곱셈 == *두 [[벡터]] <math>\vec{u},\,\vec{v}</math>에 대해, <math>\vec{u}\cdot\vec{v}</math>는 벡터의 [[내적]]이 된다. <math>\vec{u}\times\vec{v}</math>는 벡터의 [[외적]]. 벡터 계산을 할 때는 ×와 •가 서로 다른 것을 의미하니 주의하자. *두 [[행렬]] \(A,\,B\)에 대해, \(A\)를 \(n\times m\), \(B\)를 \(m\times p\) 행렬이라고 하자. 그럼 <math>\left(AB\right)_{ij}</math>는 <math>\sum_{k=1}^mA_{ik}B_{kj}</math>로 정의한다. 즉, \(A\)의 \(i\)번째 행벡터와 \(B\)의 \(j\)번째 열벡터의 [[내적]]을 구한 것. == 관련 항목 == *[[사칙연산]] *[[덧셈]] *[[나눗셈]] {{각주}} [[분류:산술]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:ㅊ (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:취소선 (원본 보기) (준보호됨)