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[[양자 조화 진동자]]와 달리 결합의 해리와 결합 에너지를 고려하기 때문에 더 정확한 모형이다. 실제 결합의 [[비조화성]], [[배진동]]띠(overtone) 및 [[조합띠]](combination band)가 나타날 확률이 0이 아닌 점을 설명할 수 있다. 원자와 표면간의 상호작용에도 적용될 수 있다. 너무 단순하기 때문에 실제 연구에서는 사용되지 않지만, 현대 분광학에서 가장 널리 쓰이는 Morse/Long-range 퍼텐셜에 영향을 미쳤다. == 에너지 함수== [[Image:Morse-potential.png|400px|thumb|'''모스 퍼텐셜''' (파랑)과 조화진동자 퍼텐셜 (초랑). 에너지 간격이 ħω인 조화진동자와 달리, 모스퍼텐셜의 에너지 간격은 에너지가 해리 에너지에 가까워질수록 감소한다. 해리 에너지 ''D''<sub>e</sub>는 실제 해리에 필요한 ''D''<sub>0</sub> 보다 작은데, 바닥상태 (''v'' = 0) 진동에너지 준위의 영점에너지 때문이다]] The Morse potential energy function is of the form :<math>V(r) = D_e ( 1-e^{-a(r-r_e)} )^2</math> <math>r</math>은 원자 사이의 거리, <math>r_e</math>은 평형 결합 길이, <math>D_e</math> 는 해리된 원자에 대비된 우물의 깊이, <math>a</math> 는 우물의 너비를 조정하는 인자 (<math>a</math>가 작을수록 우물이 넓다.).[[결합 해리 에너지]]는 우물의 깊이에서 영점에너지<math>E(0)</math>를 배는 방법으로 구할 수 있다. 결합의 힘상수는 <math>V(r)</math>을 <math>r=r_e</math> 주변에서 테일러 전개한 뒤 이차 미분계수를 구해서 얻을 수 있다. 그러면 <math>a</math>는 :<math>a=\sqrt{k_e/2D_e},</math> 이고 <math>k_e</math>는 우물 바닥에서의 힘상수이다. 퍼텐셜 에너지의 0점은 임의로 정할 수 있다. 결합이 해리된 상태의 에너지를 0으로 쓰면 :<math>V(r) = D_e (( 1-e^{-a(r-r_e)} )^2 -1)</math> 흔히 쓰이는 형태로 다시쓰면 :<math>V(r) = D_e ( e^{-2a(r-r_e)}-2e^{-a(r-r_e)} )</math> <math>r</math>은 표면에 수직거리를 말한다. <math>r</math>이 무한대일때 퍼텐셜이 0이고 에너지가 최소인 <math>r=r_e</math>에서 <math>-D_e</math>가 된다. 이것을 보면 모스 퍼텐셜은 반발항(앞)과 인력항(뒤)의 합이라는 사실을 알 수 있다. == 진동 상태와 에너지== [[양자 조화 진동자]]처럼 모스퍼텐셜의 에너지와 [[고유상태]]를 오퍼레이터법을 통해 구할 수 있다.<ref>F. Cooper, A. Khare, U. Sukhatme, ''Supersymmetry in Quantum Mechanics'', World Scientific, 2001, Table 4.1</ref> 모스 퍼텐셜의 [[정상 상태]](Stationary state)를 써보자. 해 <math>\Psi(v)</math> 와 <math>E(v)</math>는 아래의 [[슈뢰딩거 방정식]]을 만족한다. :<math>\left(-\frac{\hbar ^2 }{2 m }\frac{\partial ^2}{\partial r^2}+V(r)\right)\Psi(v)=E(v)\Psi(v),</math> 새 변수를 도입하면 더 쉽게 쓸 수 있다. :<math>x=a r \text{; } x_e=a r_e \text{; } \lambda =\frac{\sqrt{2 m D_e}}{a \hbar } \text{; } \varepsilon _v=\frac{2 m }{a^2\hbar ^2}E(v). </math> 그러면 [[슈뢰딩거 방정식]]은 아래와 같이 바뀐다. :<math> \left(-\frac{\partial ^2}{\partial x^2}+V(x)\right)\Psi _n(x)=\varepsilon _n\Psi _n(x), </math> :<math> V(x)=\lambda ^2\left(e^{-2\left(x-x_e\right)}-2e^{-\left(x-x_e\right)}\right). </math> 이것의 [[고윳값]]과 [[고유함수]]는 다음과 같이 쓸 수 있다. :<math> \varepsilon _n=-\left(\lambda -n-\frac{1}{2}\right)^2 </math> :<math> \Psi _n(z)=N_nz^{\lambda -n-\frac{1}{2}}e^{-\frac{1}{2}z}L_n^{2\lambda -2n-1}(z), </math> where <math> z=2\lambda e^{-\left(x-x_e\right)} \text{; } N_n=n!\left[\frac{\left(2\lambda-2n-1\right)}{\Gamma (n+1)\Gamma (2\lambda -n)}\right]^{\frac{1}{2}} </math> 와<math>L_n^{\alpha }(z)</math> 는 [[라게르 다항식]]이다. :<math>L_n^{\alpha }(z) = \frac{z^{-\alpha }e^z}{n!} \frac{d^n}{d z^n}\left(z^{n + \alpha } e^{-z}\right)=\frac{\Gamma (\alpha + n + 1)/\Gamma (\alpha +1)}{\Gamma (n+1)} \, _1F_1(-n,\alpha +1,z), </math> 위치 오퍼레이터에 행렬 요소의 해석적인 전개가 존재한다.(<math>m>n</math>과 <math>N=\lambda -\frac{1}{2}</math>을 가정함) <ref name="Another">E. F. Lima and J. E. M. Hornos, "Matrix Elements for the Morse Potential Under an External Field", J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 38, pp. 815-825 (2005)</ref> :<math> \left\langle \Psi _m|x|\Psi _n\right\rangle =\frac{2(-1)^{m-n+1}}{(m-n)(2N-n-m)} \sqrt{\frac{(N-n)(N-m)\Gamma (2N-m+1)m!}{\Gamma (2N-n+1)n!}}. </math> 초기 변수에 대한 고유 에너지는 다음과 같다. :<math>E(v) = h\nu_0 (v+1/2) - \frac{\left[h\nu_0(v+1/2)\right]^2}{4D_e}</math> <math>v</math> 는 진동 양자수, <math>\nu_0</math>는 진동수 단위를 가지며 입자의 질량<math>m</math>과 관련이 있다. 모스 퍼텐셜에 따르면 아래와 같다. :<math>\nu_0 = \frac{a}{2\pi} \sqrt{2D_e/m}.</math> [[양자 조화 진동자]]의 에너지 간극이 상수 <math>h\nu_0</math>인 반면, 모스 진동자의 에너지 간극은 <math>v</math>가 커질 수록 감수한다. 모스 진동자의 에너지 간극은 아래와 같다. :<math>E(v+1) - E(v) = h\nu_0 - (v+1) (h\nu_0)^2/2D_e.\,</math> 실제 분자의 에너지 간극 추세를 따른다. <math>E(v_m+1) - E(v_m)</math> 이 음으로 계산될 때는 <math>v_m</math>이 맞지 않는다. 이때 <math>v_m</math>은 가장 높은 진동 상태 <math>E(v_m)</math>과 결합 해리 시점의 에너지의 차이로, 다음과 같다. :<math>v_m = \frac{2D_e-h\nu_0}{h\nu_0}.</math> 이것은 모스 퍼텐셜의 진동은 유한하고, 분자가 속박된 상태를 유지하는 <math>v_m</math>은 유한하기 때문이다. <math>v_m</math>을 넘는 에너지가 주어지면 모든 에너지가 가능해지고 <math>E(v)</math>은 유효하지 않다. <math>v_m</math>이하에서 <math>E(v)</math> 은 회전하지 않는 이원자 분자의 진동 에너지에 대한 좋은 근사이다. 실제 분자의 진동 에너지를 교정할 때 사용되는 식은 다음과 같다.<ref>CRC Handbook of chemistry and physics, Ed David R. Lide, 87th ed, Section 9, ''SPECTROSCOPIC CONSTANTS OF DIATOMIC MOLECULES'' pp. 9–82</ref> :<math> E_v / hc = \omega_e (v+1/2) - \omega_e\chi_e (v+1/2)^2\,</math> 이 식의 <math>\omega_e</math> 와 <math>\omega_e\chi_e</math> 는 모스 퍼텐셜과 직접적인 관련이 있다. [[차원 분석]]에서 시작된 역사적인 이유에서 <math>\omega_e</math>는 <math>E=hc\omega</math>를 만족하는 [[파수]]를 의미하며, <math>E=\hbar\omega</math>식의 [[각진동수]]를 뜻하지 않는다 == Morse/Long-range potential == 현대 분광학에서 쓰이는 모스 퍼텐셜의 중요한 확장은 MLR (Morse/Long-range) 퍼텐셜이다.<ref name=LeRoy(A-X) /> MLR potential은 이원자 분자의 퍼텐셜 곡선의 표준으로 사용된다. N<sub>2</sub>,<ref name=LeRoy(N2)>{{cite journal|last=Le Roy|first=R. J.|author2=Y. Huang |author3=C. Jary |title=An accurate analytic potential function for ground-state N<sub>2</sub> from a direct-potential-fit analysis of spectroscopic data|journal=Journal of Chemical Physics|year=2006|volume=125|issue=16|page=164310|doi=10.1063/1.2354502|bibcode=2006JChPh.125p4310L}}</ref> Ca<sub>2</sub>,<ref name=LeRoy(Ca2)>{{cite journal|last=Le Roy|first=Robert J.|author2=R. D. E. Henderson|title=A new potential function form incorporating extended long-range behaviour: application to ground-state Ca<sub>2</sub>|journal=Molecular Physics|year=2007|volume=105|issue=5–7|page=663|doi=10.1080/00268970701241656|bibcode=2007MolPh.105..663L}}</ref> KLi,<ref name=Salami(KLi)>{{cite journal|last=Salami|first=H.|author2=A. J. Ross |author3=P. Crozet |author4=W. Jastrzebski |author5=P. Kowalczyk |author6=R. J. 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Linton |title=Accurate analytic potentials for Li<sub>2</sub>(X) and Li<sub>2</sub>(A) from 2 to 90 Angstroms, and the radiative lifetime of Li(2p)|journal=Journal of Chemical Physics|date=25 November 2009|volume=131|issue=20|page=204309|doi=10.1063/1.3264688|bibcode=2009JChPh.131t4309L}}</ref><ref name=Dattani(c-a)>{{cite journal|last=Dattani|first=N. S.|author2=R. J. Le Roy|title=A DPF data analysis yields accurate analytic potentials for Li<sub>2</sub>(a) and Li<sub>2</sub>(c) that incorporate 3-state mixing near the c-state asymptote|journal=Journal of Molecular Spectroscopy (Special Issue)|date=8 May 2013|volume=268|pages=199–210|doi=10.1016/j.jms.2011.03.030|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022285211000853#|bibcode=2011JMoSp.268..199|arxiv = 1101.1361 }}</ref><ref name=Gunton(A-X)>W. Gunton, M. Semczuk, N. S. Dattani, K. W. Madison, ''High resolution photoassociation spectroscopy of the <sup>6</sup>Li<sub>2</sub> A-state'', http://arxiv.org/abs/1309.5870</ref><ref name=Semczuk(c-a)>{{cite news|first1=M.|last1= Semczuk|first2=X.|last2= Li|first3=W.|last3= Gunton|first4=M.|last4= Haw|first5=N. S.|last5= Dattani|first6=J.|last6= Witz|first7=A. K.|last7= Mills|first8=D. J.|last8= Jones|first9=K. W.|last9= Madison |title=High-resolution photoassociation spectroscopy of the <sup>6</sup>Li<sub>2</sub> c-state|journal=Phys. Rev. A|year=2013|volume=87|pages=052505|doi=10.1103/PhysRevA.87.052505|url=http://pra.aps.org/abstract/PRA/v87/i5/e052505}}</ref><ref name=Gunton(A-X)>W. Gunton, M. Semczuk, N. S. Dattani, K. W. Madison, ''High resolution photoassociation spectroscopy of the <sup>6</sup>Li<sub>2</sub>A-state'', http://arxiv.org/abs/1309.5870</ref><ref name=LeRoy(damping)>{{cite journal|last=Le Roy|first=R. J.|author2=C. C. Haugen |author3=J. Tao |author4=H. Li |title=Long-range damping functions improve the short-range behaviour of 'MLR' potential energy functions|journal=Molecular Physics|date=February 2011|volume=109|issue=3|page=435|url=http://scienide2.uwaterloo.ca/~rleroy/Pubn/11MolP_damping.pdf|doi=10.1080/00268976.2010.527304|bibcode = 2011MolPh.109..435L }}</ref> Cs<sub>2</sub>,<ref name=Li(Cs2)>{{cite journal|last=Xie|first=F.|author2=L. Li |author3=D. Li |author4=V. B. Sovkov |author5=K. V. Minaev |author6=V. S. Ivanov |author7=A. M. Lyyra |author8=S. Magnier |title=Joint analysis of the Cs<sub>2</sub> a-state and 1 g (33Π1g ) states|journal=Journal of Chemical Physics|year=2011|volume=135|issue=2|page=02403|doi=10.1063/1.3606397|bibcode=2011JChPh.135b4303X}}</ref><ref name=Hajigeorgiou(Cs2)>{{cite journal|last=Coxon|first=J. A.|author2=P. G. Hajigeorgiou|title=The ground X <sup>1</sup>Σ<sup>+</sup><sub>g</sub> electronic state of the cesium dimer: Application of a direct potential fitting procedure|journal=Journal of Chemical Physics|year=2010|volume=132|issue=9|page=094105|doi=10.1063/1.3319739|bibcode=2010JChPh.132i4105C}}</ref> Sr<sub>2</sub>,<ref name=Knockel(Sr2)>{{cite journal|last=Stein|first=A.|author2=H. Knockel |author3=E. Tiemann |title=The 1S+1S asymptote of Sr<sub>2</sub> studied by Fourier-transform spectroscopy|journal=The European Physical Journal D|date=April 2010|volume=57|issue=2|pages=171–177|doi=10.1140/epjd/e2010-00058-y|url=http://link.springer.com/article/10.1140%2Fepjd%2Fe2010-00058-y|bibcode=2010EPJD...57..171S|arxiv = 1001.2741 }}</ref> ArXe,<ref name=LeRoy(damping) /><ref name=Piticco(ArXe)>{{cite journal|last=Piticco|first=Lorena|author2=F. Merkt |author3=A. A. Cholewinski |author4=F. R. W. McCourt |author5=R. J. Le Roy |title=Rovibrational structure and potential energy function of the ground electronic state of ArXe|journal=Journal of Molecular Spectroscopy|date=December 2010|volume=264|issue=2|page=83|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S002228521000189X|doi=10.1016/j.jms.2010.08.007|bibcode=2010JMoSp.264...83P}}</ref> LiCa,<ref name=Ivanova(LiCa)>{{cite journal|last=Ivanova|first=Milena|author2=A. Stein |author3=A. Pashov |author4=A. V. Stolyarov |author5=H. Knockel |author6=E. Tiemann |title=The X<sup>2</sup>Σ<sup>+</sup> state of LiCa studied by Fourier-transform spectroscopy|journal=Journal of Chemical Physics|year=2011|volume=135|issue=17|page=174303|doi=10.1063/1.3652755|bibcode=2011JChPh.135q4303I}}</ref> LiNa,<ref name=Steinke(LiNa)>{{cite journal|last=Steinke|first=M.|author2=H. Knockel |author3=E. Tiemann |title=X-state of LiNa studied by Fourier-transform spectroscopy|journal=Physical Review A|date=27 April 2012|volume=85|issue=4|page=042720|doi=10.1103/PhysRevA.85.042720|url=http://pra.aps.org/abstract/PRA/v85/i4/e042720|bibcode=2012PhRvA..85d2720S}}</ref> Br<sub>2</sub>,<ref name=Yukiya(Br2)>{{cite journal|last=Yukiya|first=T.|author2=N. Nishimiya |author3=Y. Samejima |author4=K. Yamaguchi |author5=M. Suzuki |author6=C. D. Boonec |author7=I. Ozier |author8=R. J. Le Roy |title=Direct-potential-fit analysis for the system of Br<sub>2</sub>|journal=Journal of Molecular Spectroscopy|date=January 2013|volume=283|pages=32–43|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022285212002354|doi=10.1016/j.jms.2012.12.006|bibcode=2013JMoSp.283...32Y}}</ref> Mg<sub>2</sub>,<ref name=Knockel(Mg2)>{{cite journal|last=Knockel|first=H.|author2=S. Ruhmann |author3=E. Tiemann |title=The X-state of Mg2 studied by Fourier-transform spectroscopy|journal=Journal of Chemical Physics|year=2013|volume=138|issue=9|page=094303|doi=10.1063/1.4792725|bibcode=2013JChPh.138i4303K}}</ref> HF,<ref name="Li(HF, HCl, HBr, HI)">{{cite journal|last=Li|first=Gang|author2=I. E. Gordon |author3=P. G. Hajigeorgiou |author4=J. A. Coxon |author5=L. S. Rothman |title=Reference spectroscopic data for hydrogen halides, Part II:The line lists|journal=Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer|date=July 2013|volume=130|pages=284–295|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022407313003026|doi=10.1016/j.jqsrt.2013.07.019|bibcode=2013JQSRT.130..284L}}</ref><ref name="sciencedirect.com">http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022407314003781</ref> HCl,<ref name="Li(HF, HCl, HBr, HI)" /><ref name="sciencedirect.com"/> HBr,<ref name="Li(HF, HCl, HBr, HI)" /><ref name="sciencedirect.com"/> HI,<ref name="Li(HF, HCl, HBr, HI)" /><ref name="sciencedirect.com"/> MgD,<ref name=Henderson(MgH,MgD)>{{cite journal|last=Henderson|first=R. D. E.|author2=A. Shayesteh |author3=J. Tao |author4=C. Haugen |author5=P. F. Bernath |author6=R. J. Le Roy |title=Accurate Analytic Potential and Born–Oppenheimer Breakdown Functions for MgH and MgD from a Direct-Potential-Fit Data Analysis|journal=The Journal of Physical Chemistry A|volume=117|issue=50|pages=131028105904004|date=4 October 2013|doi=10.1021/jp406680r|bibcode = 2013JPCA..11713373H }}</ref> Be<sub>2</sub>,<ref>http://scitation.aip.org/content/aip/journal/jcp/140/6/10.1063/1.4864355</ref> BeH,<ref>http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022285214001945</ref>,NaH.<ref>http://scitation.aip.org/content/aip/journal/jcp/142/4/10.1063/1.4906086</ref> 에서 쓰였다. 다원자 분자에서는 더 복잡한 버전이 쓰인다. ==같이 보기 == *[[Morse/Long-range potential]] *[[레너드존스 퍼텐셜]] *[[분자 동역학]] {{번역된 문서|en|Morse_potential}} ==References== *<sup>1</sup> CRC Handbook of chemistry and physics, Ed David R. Lide, 87th ed, Section 9, ''SPECTROSCOPIC CONSTANTS OF DIATOMIC MOLECULES'' pp. 9–82 * {{cite news |first1=P. M. |last1= Morse |title=Diatomic molecules according to the wave mechanics. II. 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