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[[미분방정식]]으로 가면 해의 존재성을 증명하는 것 (= 방정식을 푸는 것)만으로도 수학사에 자기 이름을 남길 수 있을 지경. 이번엔 다른 예시를 들어보자. {{인용문|24를 [[소인수분해]] 하여라.}} {{--|초등학교 중퇴가 아닌 이상}} <math>24=2^3\cdot3</math>라고 누구나 다 할 수 있을 것이다. 하지만 만약 누군가 "24의 [[소인수분해]]가 왜 존재하냐?" 라고 묻는다면 "<math>24=2^3\cdot3</math>니까 존재해"라는 답은 50점 짜리 정답. 결과는 알아도 그 '''과정'''을 모르기 때문. 설녕 눈 앞에서 직접 과정을 보여줘도 "모든 [[자연수]]에 대해 소인수분해가 존재하냐?"라고 묻는다면 그대로 [[데꿀멍]]... 방정식은 문자를 사용해서 계산하면 되지만,<ref><math>ax+b=0</math>과 같이</ref> '''임의의''' 자연수의 소인수분해 과정을 수학적으로 어떻게 보일것인가? 이 문제의 답은 모든 경우에 성립하는 '''유한한 기계적 절차'''를 제시하는 것으로 해결된다. 여기서 "유한한"은 글자 그대로 "언젠가는 끝나는"을 뜻하고, "기계적"이란 "기계가 할 수 있는"정도로 이해하면 된다. 즉, 간단한 [[덧셈]], [[곱셈]]부터 시작해서, [[극한]]이나 [[미분]]같은 [[알고리즘]]을 말한다. 위 임의의 자연수의 [[소인수분해]]의 유한한 기계적 절차, 즉 존재성에 대한 증명은 항목에 있으니 {{--|마음의 준비를 하고}} 보도록 하자.<ref>간단히 설명하자면, 두번째로 작은 약수를 찾아 쪼개는 것을 반복한다.</ref> 또 다른 예시를 들어보자. 이번엔 [[선형대수학]]의 지식이 필요하다. {{인용문|임의의 [[벡터 공간]] (Vector Space)의 기저 (Basis)는 항상 존재하는가?}} 공대에서 선형대수학을 들었다면 존재한다고 배웠을 것이다. 직접 기저를 찾는 문제도 풀어본 적이 있을 것이다. 하지만 문제는 '''임의의''' 벡터 공간이라는 데에서 발생한다. 위 소인수분해와 같이 [[알고리즘]]을 제시하면 되지 않겠냐고? {{--|된다면 이렇게 따로 설명을 하지 않았겠지}} 이 문제의 답은 특정 [[공리]]를 취하는 것으로 해결할 수 있다. 이 경우에는 선택 공리 (Axiom of Choice)를 취함으로써 해결 된다.<ref>간단히 설명하자면, 벡터를 하나하나 '''선택'''해서 그 벡터 집합을 기저로 만드는 것이다. 선택 공리는 기저가 되는 벡터의 선택을 보장해준다.</ref> 마지막으로 어떤 문제의 해가 존재함을 보였다고 가정하자. 하지만 해의 존재성과 해가 어떻게 생겨먹었는지는 다른 경우가 많다. 예시로 4차 이하의 [[방정식]]은 근의 공식이 존재해서 해가 어떻게 생겨먹었는지는 알지만, 5차 이상의 방정식은 수학자 아벨이 "5차 이상은 근의 공식 따윈 없음 ㅇㅇ"라고 증명을 해버렸다. [[대수학의 기본정리]]를 통해 해의 존재성은 알고 있는데도! 다른 예시로는 [[미분방정식]]이 있는데, Picard Iteration이 대표적. 이건 "해가 (특정 범위 안에서) 존재해. [[알고리즘]]도 알아. 근데 어떻게 생겼는지는 몰라"라고 말하며 수학도의 뒤통수를 후려치는 정리이다. 존재성에 대해 정리하자면, 크게 1. 직접 찾아서 보이거나, 2. 답을 찾을 수 있는 알고리즘을 제시하고나, 3. 그냥 공리로 된다고 만드는(...) 세가지 방법이 있다. 물론 이 외에도 다른 증명 방법이 있다. 주의할 점은, 답이 존재함을 아는 것과 실제로 답을 찾는 것은 다르다는 것이다. == 유일성 == '''해가 존재하는건 알겠어. 근데 해가 하나? 둘? 무수히 많아?''' {{--|[[태양계]]에는 [[해#s-1|해]]가 하나 뿐}} 라는 질문에 답을 해주는 개념. 존재성과 마찬가지로, 유일성이라 부르니 뭔가 전문적인 느낌이 나지만 "일차[[방정식]] <math>ax+b=0</math>의 해는 유일하다 ( 단, <math>a\neq0</math>)" 정도는 다들 알고 있듯이 알게 모르게 자주 쓰이는 개념. 존재성을 보이는 데에는 여러가지 증명 방법이 있는 반면, 유일성을 보이는 방법은 사실상 한 가지 밖에 없다. 바로 [[귀류법]]. 이제 예시를 통해 귀류법이 어떻게 쓰이는지 확인해 보자. >일차 방정식 <math>2x+4=0</math>의 근이 유일함을 보여라. 답이 -2 하나밖에 없음은 모두 알고 있다. 이제 그 답이 유일하다는 것을 보이기 위해 답이 유일하지 않다고 가정하자. 즉, <math>2a+4=0</math>인데, <math>a\neq-2</math>인 <math>a</math>가 존재한다고 가정한다. 이제 4를 이항하고 양변을 2로 나눠주면, <math>a=-2</math>가 튀어나온다. 근데 처음 가정에서 <math>a\neq-2</math>라 했으므로 이는 [[모순]]이고, 따라서 답이 유일하다는 결론이 도출된다. 만약 문제가 [[자연수]]에 관한 것이라면 자연수의 정렬성(Well-ordering Principle)을 사용해서 증명하는 경우가 많다. 자연수의 정렬성이란, 자연수의 '''공집합이 아닌''' 부분집합은 반드시 가장 작은 원소<ref>책에 따라서는 첫번째 원소</ref>를 가진 다는 성질이다. 참고로 굳이 자연수가 아닌 자연수의 부분집합의 부분집합에도 정렬성이 성립한다. 또한 0을 포함해도 정렬성은 변함없이 성립한다. 이 원리를 사용한 증명은 [[소인수분해]]나 [[√2]]에 있으니 {{--|역시 마음의 준비를 하고}} 참고하자. 간혹 [[귀류법]]을 쓰지않고 두개의 답이 존재한다고 가정한 뒤, 두 답이 사실은 같다는 것을 증명하는 경우도 있는데, 본질적으로는 귀류법과 동일한 방법이다. 아래 예시를 확인해 보자. 이번엔 [[엡실론-델타 논법]]에 대한 기본 지식이 필요하다. {{인용문|어떤 함수 <math>f\left(x\right)</math>의 <math>x=a</math>에서의 극한값이 존재한다고 하자. 그러면 이 극한값은 유일하다.}} {{인용문2|<math>\lim_{x\to a}f\left(x\right)=L_1,\,\lim_{x\to a}f\left(x\right)=L_2</math>라 가정하자.<ref>여기서 귀류법과의 차이점은 굳이 <math>L_1\neq L_2</math>임을 가정하지 않는 것이다. 어차피 두 개가 같음을 보일 것이므로.</ref> 그럼 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대해 <math>0<\left|x-a\right|<\delta_1</math>이면 <math>\left|f\left(x\right)-L_1\right|<\epsilon/2</math>를 만족시키는 <math>\delta_1>0</math>이 존재한다. 마찬가지로, <math>0<\left|x-a\right|<\delta_2</math>이면 <math>\left|f\left(x\right)-L_2\right|<\epsilon/2</math>를 만족시키는 <math>\delta_2>0</math>가 존재한다. 이제 <math>0<\left|x_0-a\right|<\delta_1,\,0<\left|x_0-a\right|<\delta_2</math>인 <math>x_0</math>을 뽑자. 그러면 <math>\left|L_1-L_2\right|=\left|L_1-f\left(x_0\right)+f\left(x_0\right)-L_2\right|\leq\left|L_1-f\left(x_0\right)\right|+\left|L_2-f\left(x_0\right)\right|<\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon</math>이 성립한다.<ref>[[삼각부등식]]을 이용한다. 참고로 이 테크닉은 입실론 델타 논법에서 자주 쓰인다.</ref> 그런데 <math>\epsilon</math>이 임의의 양수이므로 이를 만족하는 경우는 <math>L_1=L_2</math>밖에 없다. 따라서 극한값은 유일하다.}} 뭔가 복잡해 보이지만 간단히 설명하면 "여러가지 해보니 두개가 같아야 함ㅇㅇ"을 보인 것이다. 이 방법의 다른 테크닉으로는 두 근 (혹은 [[함수]], [[행렬]] 등등)을 <math>x,y</math>라 했을 때 <math>x-y=0</math>을 보이는 것, <math>x\leq y</math>이고 <math>y\leq x</math>을 보이는 것 등이 있다. [[집합]]의 경우는 <math>A\subset B</math>이고 <math>B\subset A</math>을 보이면 된다. 여기서 해가 유일하지 않으면 어떡하냐는 의문이 들 수 있는데, 해가 유일하지 않으면 유일하지 않음을 보이면 된다. 해가 무수히 많으면 무수히 많음을 보이면 된다. 유일하지 않은데 무슨 수로 유일함을 보이는가... 물론 증명 테크닉은 유일성에서 쓰였던 것과는 많이 다를 것이다. [[분류:수학]] {{각주}} 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:-- (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:인용문 (원본 보기) (준보호됨)틀:인용문2 (원본 보기) (준보호됨)틀:참고 (원본 보기) (준보호됨)틀:취소선 (원본 보기) (준보호됨)