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[[구간]] <math>(a,b)</math>에서 [[정의]]된 [[미분가능]]한 [[함수 (수학)|함수]] <math>f,g:(a,b)\to\mathbb{R}</math>에 대해 극한값 : <math>\lim_{x\to a+0}\frac{f'(x)}{g'(x)}</math> 가 존재한다고 하자.<ref>여기서 <math>a+0</math>을 <math>b-0</math>으로 바꾸어도 정리는 성립한다.</ref> 이때 * <math>\lim_{x\to a+0}f(x)=0,\;\lim_{x\to a+0}g(x)=0</math>이거나 * <math>\lim_{x\to a+0}f(x)=\infty,\;\lim_{x\to a+0}g(x)=\infty</math> 이면, : <math>\lim_{x\to a+0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a+0}\frac{f'(x)}{g'(x)}</math> 이다. <math>a+0</math>을 <math>\infty</math>로 바꾸어도 로피탈의 정리는 성립한다. 2. 구간 <math>(a,\infty)</math>에서 정의된 미분가능한 함수 <math>f,g:(a,\infty)\to\mathbb{R}</math>에 대해 극한값 : <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}</math> 가 존재한다고 하자. 이때 * <math>\lim_{x\to\infty}f(x)=0,\;\lim_{x\to\infty}g(x)=0</math>이거나 * <math>\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty,\;\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty</math> 이면, : <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}</math> 이다. == 증명 == 임의의 <math>x,\alpha\;(a<\alpha< x)</math>에 대해 함수 <math>f,g</math>는 닫힌 구간 <math>[\alpha,x]</math>에서 연속이고 <math>(\alpha,x)</math>에서 미분가능하므로 [[평균값 정리#코시의 평균값 정리|코시의 평균값 정리]]를 사용할 수 있다. 즉, : <math>\frac{f(x)-f(\alpha)}{g(x)-g(\alpha)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}</math> 인 <math>\xi\in(a,x)</math>가 존재한다. 그러면 : <math>f(x)-f(\alpha)=(g(x)-g(\alpha))\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}</math> 이고 양변을 <math>g(x)</math>로 나누면 : <math>\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(\alpha)}{g(x)}=\left(1-\frac{g(\alpha)}{g(x)}\right)\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}</math> 이다. 양변에 <math>-l</math>을 더하고 정리하면 : <math>\frac{f(x)}{g(x)}-l=\frac{f(\alpha)}{g(x)}+\left(1-\frac{g(\alpha)}{g(x)}\right)\left(\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}-l\right)-\frac{g(\alpha)}{g(x)}l</math> 이다. 양변에 [[절댓값]]을 씌우면 [[삼각부등식]]에 의해 : <math>\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|\le \left|\frac{f(\alpha)}{g(x)}\right|+\left|1-\frac{g(\alpha)}{g(x)}\right|\left|\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}-l\right|-\left|\frac{g(\alpha)}{g(x)}\right| |l|</math> 이다. 만약 <math>\lim_{x\to a+0}f(x)=0,\;\lim_{x\to a+0}g(x)=0</math>이면 임의의 <math>\varepsilon>0</math>에 대해 <math>\delta_f>0,\delta_g>0</math>이 존재해 각각 임의의 <math>\alpha</math>에 대해 <math>0< \alpha-a < \delta_f,0< \alpha-a<\delta_g</math>이면 <math>|f(\alpha)|<|g(x)|\frac{\varepsilon}{3},|g(\alpha)|<|g(x)|\frac{\varepsilon}{3}</math>이다. 임의의 <math>\varepsilon</math>에 대해 <math>\delta=\min\{\delta_f,\delta_g\}</math>라 하자. 그러면 <math>0<\alpha-a<\delta</math>이면 <math>|f(\alpha)|<|g(x)|\frac{\varepsilon}{3},\;|g(\alpha)|<|g(x)|\frac{\varepsilon}{3}</math>이다. 그러면 : <math>\left|1-\frac{g(\alpha)}{g(x)}\right|<1+\frac{\varepsilon}{3}</math> 이다. 따라서 <math>a<\alpha< a+\delta</math>이면 : <math>\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|<\frac{\varepsilon}{3}+\left(1+\frac{\varepsilon}{3}\right)\left|\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}-l\right|+\frac{\varepsilon}{3}</math> 이다. 가정에 의해, 임의의 <math>\varepsilon>0</math>에 대해 <math>\delta_d>0</math>이 존재해 임의의 <math>\xi</math>에 대해 <math>0< x-a<\delta_d</math>이면 <math>\left|\frac{f'(x)}{g'(x)}-l\right|<\frac{\varepsilon}{4}</math>이다. <math>0< \xi-a< x-a<\delta_d</math>이므로, <math>\left|\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}-l\right|<\frac{\varepsilon}{4}</math>이다. 따라서 <math>\delta'=\min\{\delta_d,\delta\}</math>로 두면 <math>a< x< a+\delta'</math>일 때 : <math>\left|\frac{f(x)}{g(x)}-l\right|<\frac{\varepsilon}{3}+(1+\frac{\varepsilon}{3})\frac{\varepsilon}{4}+\frac{\varepsilon}{3}<\varepsilon</math> 이므로 원하는 결론을 얻는다.<ref>일반성을 잃지 않고 <math>0<\varepsilon<1</math>로 둘 수 있다.</ref><!-- 나머지 경우 추가바람 --> == 예시 == * <math>\begin{align} \lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{x-1}\right)&=\lim_{x\to 1}\frac{x-1-\ln x}{(x-1)\ln x}\\ &=\lim_{x\to 1}\frac{1-\frac{1}{x}}{\ln x +\frac{x-1}{x}}\\ &=\lim_{x\to 1}\frac{1-\frac{1}{x}}{\ln x +1-\frac{1}{x}}\\ &=\lim_{x\to 1}\frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\\ &=\frac{1}{2} \end{align}</math> == 복소함수로 확장 == 로피탈의 정리는 [[복소수]]체에서 약화된 형태로 확장할 수 있다: 복소함수 <math>f,g</math>가 <math>z_0</math>에서 해석적이고 <math>f(z_0)=g(z_0)=0</math>이고 <math>g'(z_0)\ne 0</math>이면, : <math>\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{f'(z_0)}{g'(z_0)}</math> 이다. == 대한민국 교육과정 도입 논의 == 고등학교 수학 교육과정에 로피탈의 정리를 함께 도입함으로써 수능 수리영역 문제를 신속하고 정확하게 풀 수 있다고 주장한 학술지논문이 존재한다. 저자는 고등학생 100명을 로피탈의 정리를 활용하여 문제를 푸는 50명(준거집단)과 기본적인 극한의 성질만 이용해 문제를 푸는 집단(비교집단)으로 나누어 10분 동안 10개의 문제를 풀게 했다. 두 번 테스트한 결과, 준거집단의 성적 평균이 비교집단보다 각각 0.5, 0.7점 높았고, 표준편차는 0.11, 0.07 차이로 근소하게 작았다.<ref>이준호 · 이병무(2003). 로피탈 정리의 활용에 관한 연구. 자연과학연구논문집. Vol.1 No.1. 대구가톨릭대학교 자연과학연구소. pp. 45-53.</ref> 학위논문 중에도 로피탈의 정리를 고등학교 수학 교육과정에 도입하자는 주제를 담은 글이 간간이 올라오곤 한다. 윤찬식(2007)은 로피탈의 정리가 문제해결의 신속성과 정확성을 향상시킬 수 있다는 주장을 펼쳤는데, 이는 이준호 · 이병무(2003)와 비슷하다. 단 기본적인 극한의 성질과 로피탈의 정리를 모두 자유롭게 쓸 수 있도록 한 이준호 · 이병무(2003)와 달리 문제를 기본적인 극한의 성질만 사용해 푼 다음 동일한 문제를 로피탈의 정리만 사용해서 풀도록 제한했다.<ref>윤찬식(2007), "로피탈 정리를 통한 문제 해결 향상성에 관한 분석 및 연구", 학위논문(석사), 부산외국어대학교 교육대학원.</ref><!-- 윤보라(2012) 추가예정 --> {{각주}} [[분류:미적분학]] [[분류:해석학]] [[분류:수학 정리]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:인용문 (원본 보기) (준보호됨)