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'''미방'''으로 많이 줄여 부르며 영어로는 DE라고 한다. == 용어와 개념 == === 상미분방정식과 편미분방정식 === ==== 상미분방정식 ==== Ordinary Differential Equation. 흔히 ODE라고 줄여 부른다. 독립변수가 한 개인 미분방정식을 말한다. ==== 편미분방정식 ==== Partial Differential Equation. 흔히 PDE라고 줄여 부른다. 두개 이상의 독립변수와 이들의 편미분 도함수가 포함된 방정식을 말한다. === 계와 차수 === ==== 계 ==== 미분방정식에 포함된 도함수 중 가장 많이 미분된 숫자를 미분방정식의 계(order)라고 한다. ==== 차수 ==== 미분방정식에 포함된 도함수 중 가장 높은 계의 도함수의 차수(거듭제곱한 수)를 미분방정식의 차수라고 한다. ==== 예 ==== * <math> y'' +3xy +72 = 0 </math> 는 이계 일차미분방정식이다. * <math> \left({d^2y \over dx^2}\right)^3 - \left({dy \over dx}\right)^{72} = \sin^{14} x </math> 은 이계 삼차미분방정식이다. === 선형과 비선형 === ==== 선형 ==== 미지함수에 관해 선형인 미분방정식을 선형미분방정식이라고 한다. 보통 나타나는 편미분방정식은 선형인 경우가 많다. 미지함수와 그 도함수들이 모두 일차이면 선형이다. ===== 제차와 비제차 ===== 선형미분방정식 중, 미지함수를 포함하지 않은 항이 0일 경우 제차, 혹은 동차라고 한다. 그렇지 않은 경우 비제차, 혹은 비동차라고 한다. ==== 비선형 ==== 선형이 아닌 미분방정식을 비선형미분방정식이라고 한다. 미지함수나 그 도함수가 이차 이상이거나 비선형함수 안에 있을 경우, 혹은 계수가 미지함수를 포함할 경우 비선형이다. ==== 예 ==== *<math> \sin x {d^2y \over dx^2} + 2xy = 0 </math> 은 선형 제차 미분방정식이다. *<math> {dy \over dx} + y = 72 </math> 는 선형 비제차 미분방정식이다. *<math> \sin \left({dy \over dx} \right) + y = x </math> 는 비선형 미분방정식이다. *<math> xyy' + y = x </math> 는 비선형 미분방정식이다. == 미분방정식의 해 == === 특수해, 일반해, 특이해 === 미분방정식의 해는 함수인데, 보통 하나만 있지 않다. 그래서 어떤 임의의 매개변수를 이용해 그 해들을 나타낸다. *특수해 : 미분방정식을 만족하고, 임의의 매개변수를 포함하고 있지 않는 함수. *일반해 : 매개변수를 통해 여러 개의 특수해를 나타낸 것. *특이해 : 어떤 특수해가 일반해로 표현되지 않는 것. 일반해를 어떻게 잡느냐에 따라 상대적인 개념이다. ==== 예 ==== <math> y' + 2y^{3 \over 2} = 0 </math> 라는 미분방정식에 대해,</br> <math> y = {1 \over (x+c)^2} </math> 은 일반해이다. 그런데, <math> y = 0 </math>의 경우 이 일반해로는 표현되지 않지만 주어진 미분방정식을 만족한다.</br> 즉, <math> y = 0 </math> 은 이 일반해에 대한 특이해이다. === 초깃값 문제와 경곗값 문제 === {{ㅊ|[[사이시옷|깃과 곗]]이 어색해보일 수 있지만 보다보면 정이 든다.}} <math> n </math>계 상미분방정식의 일반해는 <math> n </math>개의 임의의 매개변수를 포함하고 있다. 특수해를 얻기 위해서는 추가적인 조건이 필요하다. 이러한 조건으로 초기 조건과 경계 조건이 있다. ==== 초깃값 문제 ==== 미분방정식에 독립변수의 한 값에 대한 조건만 부여된 경우에 이 조건을 초기 조건(initial condition)이라 한다. 초기 조건을 가진 미분방정식을 초깃값 문제(initial value problem)라고 한다. ==== 경곗값 문제 ==== 미분방정식에 독립변수의 두 개 이상의 값에 대한 조건이 부여된 경우에 이 조건을 경계 조건(boundary condition)이라 한다. 경계 조건을 가진 미분방정식을 경곗값 문제(boundary value problem)라고 한다. 2계 미분방정식의 경계조건은 일반적으로 <math> \alpha_1 y(a) + \beta_1 y'(a) = \gamma_1 </math> <math> \alpha_2 y(b) + \beta_2 y'(b) = \gamma_2</math> 와 같이 주어진다. ==== 예 ==== *<math> y' -2xy = 3, y(0) = 1 </math> 은 초깃값 문제이다. <math> y(0) = 1</math>을 초기 조건이라고 부른다. *<math> y'' -3y' - y = 0, y(1) = 1, y'(1) = -1 </math> 은 초깃값 문제이다. *<math> y'' -34y' - 2xy = x^2, y(0) = 1, y(2) =4 </math> 는 경곗값 문제이다. <math> y(0) = 1, y(2) =4 </math>를 경계 조건이라고 부른다. == 유명한 미분방정식 == === 맬서스 인구 성장 모형 === 1798년 영국의 경제학자 [[맬서스]]에 의해 제시된 인구 성장 모형. 특정 시점의 한 나라 인구 성장률이 그 시점의 그 나라 총 인구수에 비례한다는 가정에 따라 구성되었다. 시간 <math> t </math>에서의 총 인구수를 <math> P(t) </math>라고 하면 다음과 같이 나타난다.<br /> <math> {dP(t) \over dt} = rP(t) </math><br /> 여기서 r은 내적 증가율이라고 부르는 비례 상수이다. 이 미분방정식은 후술할 변수분리법으로 풀 수 있고, 일반해는<br /> <math> P(t) = e^{rt+c} </math> 이다. === 스프링에 의한 단순 조화 운동 === 스프링에 물체를 매달아 당긴 후 놓으면, 물체는 계속해서 왕복운동을 하게 된다. 공기저항이나 마찰력과 같은 힘이 작용하지 않으면 일정한 진폭으로 무한히 왕복하게 되는데, 이를 단순 조화 운동이라고 한다.<br /> 스프링이 평형점에서부터 <math> x </math>만큼 늘어나거나 압축되었을 때 작용하는 복원력은 훅의 법칙에 따라<br /> <math> F = -kx </math>이다. <math> F = ma = m{d^2x \over dt^2} </math> 이므로,<br /> <math> -kx = {d^2x \over dt^2} </math> 이고, 이를 다시 쓰면<br /> <math> m{d^2x \over dt^2} + kx = 0 </math> 이다. 이 이계미분방정식을 풀어주면<br /> <math> x(t)=c_1 \cos \omega t + c_2 \sin \omega t, \omega = \sqrt{k \over m} </math> 이 된다.<br /> 삼각함수의 합성공식을 이용해서 한번 더 정리해주면<br /> <math> x(t) = A \cos(\omega t - \phi), A=\sqrt{c_1^2+c_2^2}, \phi = \tan^{-1} \left({c_2 \over c_1} \right) </math>이고, <math> A </math>는 최대 진폭, <math> \psi </math>는 위상각이라 한다. == 미분방정식의 해법 == === 선형 상미분방정식 === ==== 1계 상미분 방정식 ==== ===== 변수분리형 미분방정식 ===== 1계 미분방정식의 형태가 <math> {dy \over dx} = {g(x) \over h(y)} </math> 와 같이 주어졌을 때, 그 미분방정식을 변수분리형 미분방정식(separable differential equation)이라고 한다. 이러한 미분방정식은 다음과 같이 정리할 수 있다.<br /> <math> h(y)dy = g(x)dx </math><br /> 양변을 적분해주면<br /> <math> \int h(y)\, dy = \int g(x)\, dx + c </math> 가 된다.<br /> ====== 예 ====== 앞서 소개한 인구 모형 <math> {dP(t) \over dt} = rP(t) </math> 를 풀어보자. 이 식을 [[적절]]히 정리해 주면,<br /> <math> {1 \over P(t)} dP(t) = rdt </math> 가 된다. 적분해주면,<br /> <math> \ln|P(t)| = rt + c </math> 이고, 다시 정리해<br /> <math> P(t) = e^{rt + c} </math> 를 얻을 수 있다. (인구는 항상 양수)<br /> 여기서 처음의 인구를 나타내는 초기조건 <math> P(0) = P_0 </math>를 적용해 보자.<br /> <math> P(0) = e^c = P_0 </math> 이므로,<br /> <math> P(t) = P_0e^{rt} </math> 라는 특수해를 얻는다. ===== 완전 미분방정식 ===== 이변수함수 <math> f(x, y) </math>의 전미분은<br /> <math> df = {\partial f \over \partial x}dx + {\partial f \over \partial y}dy </math> 이다. <math> \partial </math>는 [[편미분]] 기호로, 항목을 참조하라. 1계 미분방정식 <math> M(x, y) + N(x, y){dy \over dx} = 0 </math> 의 양변에 dx를 곱하면<br /> <math> M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 </math> 이고,<br /> 이 미분방정식의 좌변이 위의 <math> df </math>, 즉 어떤 함수의 전미분이 될 때, 이 미분방정식을 완전 미분방정식이라고 한다. 이 미분방정식을 풀어보자.<br /> <math> M(x, y) = {\partial f \over \partial x} </math> 이므로 양변을 적분해주면,<br /> <math> \int M(x, y) \, dx + h(y) = f </math> 이다. 여기서는 {{ㅊ|편미분에 무참히 갈려나갔던}} <math> y </math>의 함수가 적분상수가 된다.<br /> 이 함수 <math> f </math>는 <math> {\partial f \over \partial y} = N(x, y)</math>도 만족하므로, <math> y </math>에 대해 편미분해주면,<br /> <math> N(x , y) = {\partial f \over \partial y} = {\partial \over \partial y} \int M(x, y) \, dx + h'(y) </math> 이 성립할 것이다. 즉 <math> h(y) </math>는 다음 조건을 만족하는 함수이다.<br /> <math> h'(y) = N(x, y) - {\partial \over \partial y} \int \, M(x,y) dx </math><br /> 이를 <math> y </math>에 대해 잘 적분해 <math> h(y) </math>를 구하고,<br /> <math> \int M(x, y) \, dx + h(y) = f </math>에 다시 대입해 주면 <math> f(x, y) </math>를 구할 수 있다. ===== 제차 ===== ===== 비제차 ===== ==== 2계 상미분 방정식 ==== ===== 제차 ===== ===== 비제차 ===== ==== 상수계수 상미분방정식 ==== === 비선형 상미분방정식 === [[추가바람]] === 편미분방정식(PDE) === Partial Differential Equation 독립변수가 여러 개인 미분방정식. [[추가바람]] [[분류:학술]] [[분류:해석학]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:ㅊ (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:본문 (원본 보기) (준보호됨)틀:빈 문단 (원본 보기) (준보호됨)틀:인용문2 (원본 보기) (준보호됨)틀:취소선 (원본 보기) (준보호됨)