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a _n \left( n \ge 1 \right)</math>로 정의되는 수열이다. 계차수열과 원래 수열의 사이에는 다음과 같은 성질이 있다. * <math>b _n = a _{n+1} - a _n \left( n \ge 1 \right)</math>(정의) * <math>a _{n+1} = a _1 + \sum _{k=1} ^n b _k</math> ==수학적 귀납법== ==점화식 수열== === <math>a_{n+1}=pa_{n}+q</math> === <math> a_{n+1}=pa_{n}+q \begin{cases} & p\neq1,a_{n}=(a_1-q)p^{n-1}+\frac{q\left ( p^{n-1} \right )}{p-1}\\ & p=1, a_{n}= a_1+q\left ( n-1 \right ) \end{cases} </math> <br> ==== <math>ra_{n+1}+a a_{n}+b=0</math> ==== <math>\huge \begin{cases} & r\neq 0,a+r\neq 0, a_n=\left ( a_1+\frac{b}{r} \right )^{n-1}+\frac{b\left ( \left ( -\frac{a}{r} \right )^{n}-1 \right )}{r+a} \\ & r+a=0,r\neq0, a_n=a_1+\frac{b\left ( 1-n \right )}{r} \\ & r+a=0,r=0, a_n= -b \end{cases}</math> ==급수== 수열 <math>\left \{ a_{n} \right \}</math>의 첫째항부터 제<math>n</math>항까지의 합을 기호 <math>\sum </math>을 사용하여<br> <math>a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}</math>이라고 표현합니다.<br> === 급수의 성질 === 두 수열 <math>\left \{ a_{n} \right \},\left \{ b_{n} \right \}</math>에 대하여.<br> <math> \sum_{k=1}^{n}\left ( a_{k}+b_{k} \right )=\\ \left ( a_1+b_1 \right )+\left ( a_2+b_2 \right )+\left ( a_3+b_3 \right )+\cdots+\left ( a_n+b_n \right )=\\ \left ( a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \right )+\left ( b_1+b_2+b_3+\cdots+b_n \right )=\\ =\sum_{k=1}^{n}a_k+\sum_{k=1}^{n}b_k </math><br> 또 상수 c에 대하여.<br> <math> \sum_{k=1}^{n}ca_k=ca_1+ca_2+ca_3+\cdots+ca_n\\ =c\left ( a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \right )\\ =c\sum_{k=1}^{n}a_k </math> === 여러 가지 급수 === ==== <math>\sum_{k=1}^{n}k</math> ==== <math>\sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+\cdots+n=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}</math><br> 이건 위 공식에서 그냥 첫째항과 공차에 각각 1 대입하면 나옵니다. ==== <math>\sum_{k=1}^{n}k^2</math> ==== 항등식 <math>\left ( x+1 \right )^{3}-{x}^{3}=3{x}^{2}+3x+1</math>의 <math>x</math>에<br> <math>1,2,3,\cdots,n</math>을 차례로 대입해 봅시다.<br> <math> \begin{cases} & x=1,2^3-1^3=3\times 1^2+3\times 1+1\\ & x=2,3^3-2^3=3\times 2^2+3\times 2+1 \\ & x=3,4^3-3^3=3\times 3^2+3\times 3+1 \\ & \vdots\\ & x=n,\left ( n+1 \right )^3-n^3=3\times n^2+3\times n+1 \end{cases} </math><br> 싸그리 더하면.<br> <math> \require{cancel} \begin{cases} & x=1,\bcancel{2^3}-1^3=3\times 1^2+3\times 1+1\\ & x=2,\bcancel{3^3}\bcancel{-2^3}=3\times 2^2+3\times 2+1 \\ & x=3,\bcancel{4^3}\bcancel{-3^3}=3\times 3^2+3\times 3+1 \\ & \vdots\\ & x=n,\left ( n+1 \right )^3\bcancel{-n^3}=3\times n^2+3\times n+1 \end{cases} </math><br> <math>\left ( n+1 \right )^{3}-1^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\sum_{k=1}^{n}+3\sum_{k=1}^{n}1</math><br> 그런데 <math>\sum_{k=1}^{n}=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2},\sum_{k=1}^{n}1=n</math><br> 따라서.<br> <math>\left ( n+1 \right )^3-1^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\times \frac{n\left ( n+1 \right )}{2}+n</math><br> <math>3\sum_{k=1}^{n}k^2=\left ( n+1 \right )^3-\frac{3n\left ( n+1 \right )}{2}-\left ( n+1 \right )=\frac{n\left ( n+1 \right )\left ( 2n+1 \right )}{6}</math> 입니다. ==수열의 극한== 수열의 원소가 ''n''이 커짐에 따라 ''특정한 값에 다가갈 때'', 이 수열은 ''수렴한다''고 한다. 수렴하지 않는 수열은 ''n''이 커짐에 따라 ''발산한다''고 한다. ==무한급수== {{주석}} {{리브레 시리즈}} [[분류:수학]] [[분류:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:Skin (원본 보기) (준보호됨)틀:ㅊ (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:고지 상자 (원본 보기) (보호됨)틀:둘러보기 상자 (원본 보기) (보호됨)틀:둘러보기 상자/중첩 (원본 보기) (준보호됨)틀:둘러보기 상자/핵심 (원본 보기) (보호됨)틀:리브레 시리즈 (편집) 틀:쉽게 알 수 있다 시리즈 (편집) 틀:주석 (편집) 틀:취소선 (원본 보기) (준보호됨)틀:틀바 (원본 보기) (준보호됨)시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학 (편집)