크라메르 추측

크라메르 추측(Cramér's conjecture)은 해석적 정수론에서 소수 간극과 관련된 미해결 문제로, 1936년 스웨덴의 수학자인 하랄드 크라메르가 처음 제시하였다.

추측

[math]\displaystyle{ p_n }[/math]은 [math]\displaystyle{ n }[/math]번째 소수이고, 그 다음 소수인 [math]\displaystyle{ p_{n+1} }[/math]과의 차이인 소수 간극을 생각할 수 있다. 이때 [math]\displaystyle{ p_n }[/math] 이하에서 소수 간극과 [math]\displaystyle{ (\ln p_n)^2 }[/math]의 비의 상극한은 1에 수렴한다. 즉 수식으로 표현하면

[math]\displaystyle{ \limsup_{n \to \infty} \frac{g_n}{(\ln p_n)^2}=1,\ g_n=p_{n+1}-p_n }[/math]

이다.

만약 [math]\displaystyle{ g_n \gt (\ln p_n)^2 }[/math]인 항이 단 하나라도 존재한다면, 위 상극한은 1보다 커져서 추측은 거짓이 된다. 다만 [math]\displaystyle{ p_n \lt 10^{18} }[/math] 범위에서는 이러한 예가 발견되지 않았다.

유사한 추측

피루즈바흐트 추측(Firoozbakht's conjecture)도 소수 간극과 관련된 추측이다. [math]\displaystyle{ p_n }[/math]이 [math]\displaystyle{ n }[/math]번째 소수일 때, [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{p_n} }[/math]은 강한 감소를 보인다. 즉 [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{p_n} \gt \sqrt[n+1]{p_{n+1}}\text{ for all }n \in \mathbb{N} }[/math]

만약 이 추측이 참이라면, 소수 간극은 [math]\displaystyle{ g_n\lt (\ln p_n)^2-\ln p_n\ (n \geq 4) }[/math] 식을 만족하며, 곧 [math]\displaystyle{ \limsup_{n \to \infty} \frac{g_n}{(\ln p_n)^2} \leq 1 }[/math]임을 알 수 있다.

지금까지 알려진 사실

• 리만 가설이 참이라면 [math]\displaystyle{ p_{n+1}-p_n=O(\sqrt{p_n}\ln p_n) }[/math]이 성립한다. (크라메르가 위 문제를 제시할 때 증명함)
• 소수 간극과 [math]\displaystyle{ \ln p_n }[/math] 사이의 비는 발산한다. 즉 [math]\displaystyle{ \limsup_{n \to \infty} \frac{g_n}{\ln p_n}= \infty }[/math]