부냐콥스키 추측

부냐콥스키 추측(Bunyakovsky conjecture)은 수론에서 소수와 관련된 미해결 문제이다. 1857년 러시아의 수학자인 빅토르 부냐콥스키가 이 문제를 처음 제시하였다.

추측

[math]\displaystyle{ f(x) }[/math]가 최고차항의 계수가 양수이고 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}[x] }[/math] 상에서 기약인 정수 계수 기약다항식이라 할 때, [math]\displaystyle{ x }[/math]가 자연수일 때의 다항식의 값을 나열한 수열 [math]\displaystyle{ f(1), f(2), f(3), \cdots }[/math]을 생각할 수 있다. 이때 이 수열은

• 1보다 큰 공약수가 존재하거나
• 무수히 많은 소수를 포함한다.

여기서 최고차항의 계수가 양수라는 조건은 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 충분히 큰 자연수일 때 [math]\displaystyle{ f(n) }[/math]이 양수가 되게 하고자 붙여둔 것이다. 즉 특정 항 이후로 전부 양의 정수이며, 이 조건 하에서 '무한히 많은 소수'를 논할 수 있다.

이 추측의 발전된 형태도 있다: 위에서 주어진 다항식 값의 수열 [math]\displaystyle{ f(n) }[/math]의 최대공약수를 [math]\displaystyle{ d }[/math]라 할 때, [math]\displaystyle{ \frac{f(n)}{d} }[/math] 수열은 무수히 많은 소수를 포함한다.

예시

이를테면 [math]\displaystyle{ f(x)=x^2+x+3 }[/math]의 경우 [math]\displaystyle{ f(1)=5, f(4)=23, f(7)=59, f(10)=113, \cdots }[/math]과 같이 소수를 무한정 찾아낼 수 있다고 추측할 수 있다.

반면 [math]\displaystyle{ g(x)=x^2+x+2 }[/math]는 모든 함숫값이 전부 짝수이기에 위 진술 중 첫째 명제에 들어간다. 사실 이 다항식은 이항계수를 이용해 [math]\displaystyle{ g(x)=2 \binom{x}{2}+2 \binom{x}{1}+2 }[/math]와 같이 쓸 수 있으며, 각 계수의 최대공약수가 2라서 [math]\displaystyle{ g(n) }[/math] 수열도 2를 공약수로 갖는다. 한편 [math]\displaystyle{ h(x)=\frac{g(x)}{2} }[/math]라 할 때, [math]\displaystyle{ h(1)=2, h(3)=7, h(4)=11, f(7)=29, \cdots }[/math]와 같이 소수가 무한히 나올 것이다.

일차다항식의 경우

이와 관련한 내용은 디리클레 등차수열 정리에서 볼 수 있습니다.

[math]\displaystyle{ f(x)=ax+b }[/math]에서 생성된 수열에서 1보다 큰 공약수가 존재하지 않으려면 [math]\displaystyle{ \gcd(a, b)=1 }[/math], 즉 일차항의 계수와 상수항이 서로소여야 한다. 다항식이 일차일 때 무수히 많은 소수가 존재한다는 사실은 증명되었다. 이 정리가 바로 디리클레 등차수열 정리로, 부냐콥스키 추측의 특수한 경우라 할 수 있다.

기타

[math]\displaystyle{ f(x)=x^2+1 }[/math]일 때, 이 추측은 성립하는가? 달리 말해 (자연수의 제곱+1) 형태의 소수가 무한히 존재하는가? 이 문제는 란다우 문제 중 네 번째로 올라와 있다. 이 형태의 소수는 4로 나눈 나머지가 1이므로 피타고라스 소수의 일부이다. 디리클레 등차수열 정리에 의해 피타고라스 소수의 개수는 무한하다는 사실은 알고 있지만 이 문제는 여전히 미해결 상태로 남아 있다.