상자 속 입자

상자 속 입자(Particle in a box), 혹은 무한 퍼텐셜 우물(infinite potential well)은 양자역학에서 입자의 운동을 설명하기 위한 기초적인 모형이다. 상자 속 입자 모형에서 입자는 직육면체 안에 갇혀 있고 바깥의 퍼텐셜에너지는 무한대이므로 입자는 밖으로 나갈 수 없다.

1차원 상자 속 입자

1차원 공간에서 퍼텐셜에너지가 다음과 같이 주어진다고 하자.

[math]\displaystyle{ V=\begin{cases} 0,&0\le x\le a \\ \infty,&\text{otherwise}\\ \end{cases} }[/math]

그러면 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}=E\psi }[/math]

이 미분방정식의 해를 구하는 것은 쉽다. 해를 쉽게 구할 수 있게 한 상자 속 입자 모형에게 감사함을 표한 다음, [math]\displaystyle{ k=\sqrt{\frac{\hbar^2}{2mE}} }[/math]라고 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ 0\le x \le a }[/math]에서

[math]\displaystyle{ \psi(x)=A\sin kx + B\cos kx }[/math]

이다. [math]\displaystyle{ \psi }[/math]의 연속성에 의해

[math]\displaystyle{ \psi(0)=\psi(a)=0 }[/math]

이고

[math]\displaystyle{ \psi(0)=B }[/math]

이므로 [math]\displaystyle{ B=0 }[/math]이다. 한편

[math]\displaystyle{ \psi(a)=A\sin ka =0 }[/math]

이므로

[math]\displaystyle{ ka=n\pi,\; n\in \mathbb{Z} }[/math]

이다. 이때 [math]\displaystyle{ n=0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ k=0 }[/math]이므로 영 좋지 않다. 따라서

[math]\displaystyle{ k_n=\frac{n\pi}{a},\; n=1,2,\cdots }[/math]

가 방정식의 해임을 안다. 따라서

[math]\displaystyle{ E_n=\frac{\hbar^2k_n^2}{2m}=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2} }[/math]

이다. n번째 정상상태(stationary state)를 나타내는 파동함수는

[math]\displaystyle{ \psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right) }[/math]

이다. 일반해는 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ \Psi_n(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \left(\frac{n\pi}{a}x\right)\exp\left(-i\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}t\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ c_n=\sqrt{\frac{2}{a}}\int_0^a \sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right)\Psi(x,0)dx }[/math]

고차원 상자 속 입자

퍼텐셜에너지가

[math]\displaystyle{ V(x,y,z)=\begin{cases} 0,& 0\le x,y,z\le a\\ \infty,& \text{otherwise} \end{cases} }[/math]

로 주어졌다고 하자. 그러면 정상상태의 파동함수는

[math]\displaystyle{ \psi_{n_x,n_y,n_z}(x,y,z)=\sqrt{\frac{8}{a^3}}\sin\left(\frac{n_x\pi}{a}x\right)\sin\left(\frac{n_y\pi}{a}y\right)\sin\left(\frac{n_z\pi}{a}z\right) }[/math]

로 주어진다.

같이 보기

• 유한 퍼텐셜 우물
• 양자 조화진동자