개요[편집 | 원본 편집]
- [math]\displaystyle{ F=-kx }[/math]
에 따르며, 이때 퍼텐셜에너지는
- [math]\displaystyle{ V=\frac{1}{2}kx^2 }[/math]
로 주어진다. 이때 각진동수를 ω라 하면
- [math]\displaystyle{ \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} }[/math]
이고 따라서
- [math]\displaystyle{ V=\frac{1}{2}m\omega^2x^2 }[/math]
로 나타낼 수 있다.
양자 조화진동자(Quantum harmonic oscillator)는 말 그대로 조화진동자의 양자역학 버전으로 퍼텐셜에너지가 위와 같이 위치에 대한 이차함수로 주어진 경우의 슈뢰딩거 방정식을 풀게 된다.
1차원 진동자[편집 | 원본 편집]
양자 조화진동자는 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식
- [math]\displaystyle{ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+V\psi=E\psi }[/math]
에서
- [math]\displaystyle{ V=\frac{1}{2}m\omega^2 x^2 }[/math]
로 주어진 미분방정식을 따르는 입자를 나타낸다. 즉, 양자 조화진동자를 나타내는 미분방정식은
- [math]\displaystyle{ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2\psi=E\psi }[/math]
이다.
파동함수[편집 | 원본 편집]
해밀토니안 연산자 H는 다음과 같이 주어진다.
- [math]\displaystyle{ H=\frac{1}{2m}(p^2+(m\omega x)^2) }[/math]
이때 p는 연산자로,
- [math]\displaystyle{ p=-ih\frac{d}{dx} }[/math]
이다. 사다리 연산자(ladder operator)를 정의한다.
- [math]\displaystyle{ a_+=\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}(-ip+m\omega x) }[/math]
- [math]\displaystyle{ a_-=\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}(ip+m\omega x) }[/math]
이때 [math]\displaystyle{ a_+ }[/math]를 상승연산자(raising operator), [math]\displaystyle{ a_- }[/math]를 하강연산자(lowering operator)라고 한다. 그러면
- [math]\displaystyle{ H=\hbar\omega\left(a_+a_-+\frac{1}{2}\right) }[/math]
또는
- [math]\displaystyle{ H=\hbar\omega\left(a_-a_+-\frac{1}{2}\right) }[/math]
이고
- [math]\displaystyle{ H(a_+\psi)=(E+\hbar\omega)(a_+\psi) }[/math]
- [math]\displaystyle{ H(a_-\psi)=(E-\hbar\omega)(a_-\psi) }[/math]
이다. 그러나 에너지가 0 미만이 될 수는 없으므로,
- [math]\displaystyle{ a_-\psi_0=0 }[/math]
이 되는 [math]\displaystyle{ \psi_0 }[/math]이 존재한다. 식을 풀면
- [math]\displaystyle{ \psi_0(x)=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{\frac{1}{4}}e^{-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}} }[/math]
을 얻는다. 한편
- [math]\displaystyle{ a_+\psi_n=\sqrt{n+1}\psi_{n+1} }[/math]
- [math]\displaystyle{ a_-\psi_n=\sqrt{n}\psi_{n-1} }[/math]
이므로
- [math]\displaystyle{ \psi_n=\frac{1}{\sqrt{n!}}(a_+)^n \psi_0 }[/math]
를 얻는다. 예를 들어 [math]\displaystyle{ \psi_1 }[/math]을 계산하면
- [math]\displaystyle{ \begin{align} \psi_1&=a_+\psi_0\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}(ip+m\omega x)\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{\frac{1}{4}}e^{-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{\frac{1}{4}}\left(-\hbar\frac{d}{dx}+m\omega x\right)e^{-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{\frac{1}{4}}2m\omega xe^{-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}}\\ &=\sqrt{\frac{2m\omega}{\hbar}}\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{\frac{1}{4}}xe^{-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}} \end{align} }[/math]
이다. 일반적으로
- [math]\displaystyle{ \psi_n(x)=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{\frac{1}{4}}\frac{1}{\sqrt{2^nn!}}H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x\right)e^{-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}} }[/math]
이때 [math]\displaystyle{ H_n(x) }[/math]는 에르미트 다항식이다.
에너지[편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ \psi_0 }[/math]의 에너지 준위를 [math]\displaystyle{ E_0 }[/math]라 하면
- [math]\displaystyle{ H\psi_0=E_0\psi_0 }[/math]
이고 [math]\displaystyle{ H=\hbar \omega\left(a_+a_-+\frac{1}{2}\right) }[/math], [math]\displaystyle{ a_-\psi_0=0 }[/math]이므로
- [math]\displaystyle{ E_0=\frac{1}{2}\hbar\omega }[/math]
이고 일반적으로
- [math]\displaystyle{ E_n=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right) }[/math]
이다.
3차원 진동자[편집 | 원본 편집]
3차원 조화진동자의 퍼텐셜에너지는
- [math]\displaystyle{ V=\frac{1}{2}m\omega^2 r^2 }[/math]
로 주어진다. 이때 슈뢰딩거 방정식은
- [math]\displaystyle{ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi+\frac{1}{2}m\omega^2 r^2\psi=E\psi }[/math]
이다.
- [math]\displaystyle{ \nabla^2 \psi=\frac{\partial^2 \psi}{\partial^2 x}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial^2 y}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial^2 z} }[/math]
- [math]\displaystyle{ r^2=x^2+y^2+z^2 }[/math]
이므로 적당히 변수분리(separation of variables)할 수 있다. 그러면
- [math]\displaystyle{ E_n=\hbar\omega\left(n+\frac{3}{2}\right) }[/math]
이고 이때 [math]\displaystyle{ E_n }[/math]의 중복도(degeneracy)는 [math]\displaystyle{ n=n_1+n_2+n_3 }[/math]인 0보다 작지 않은 정수의 순서쌍 [math]\displaystyle{ (n_1,n_2,n_3) }[/math]의 개수와 같다. [math]\displaystyle{ n_1 }[/math]이 결정되면 [math]\displaystyle{ n_2 }[/math]가 결정되는 경우의 수는 [math]\displaystyle{ n+1-n_1 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ n_3 }[/math]는 한 가지로 결정된다. 따라서
- [math]\displaystyle{ d(n)=\sum_{n_1=0}^n (n+1-n_1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2} }[/math]
이다.