상극한과 하극한

정의

유계인 실수열 [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]의 수렴하는 부분수열이 존재한다는 사실이 알려져 있다 (볼차노-바이어슈트라스 정리). 이때 [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]의 부분수열의 극한값의 집합을 [math]\displaystyle{ S }[/math]라 하면, [math]\displaystyle{ S }[/math]의 상한과 하한을 각각 [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]의 상극한(limit superior, upper limit)과 하극한(limit inferior, lower limit)이라고 한다.

부분수열이 어렵다면, 이렇게 생각해보자. 먼저, 어떤 수열 [math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty} }[/math]이 위로 유계라고 하자. 그럼 상계만을 모아놓은 집합 중에서 가장 작은 원소를 생각할 수 있다. 이를 상극한이라 부르는 것이다. 반대로, 이 수열이 아래로 유계라면 하계만을 모아놓은 집합 중에서 가장 큰 원소를 생각할 수 있다. 이를 하극한이라 부른다. 기호로는 각각 [math]\displaystyle{ \limsup a_n,\,\liminf a_n }[/math]으로 표기한다.

만약 [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]이 위로 유계가 아니면 [math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}a_n = \infty }[/math]로 정의한다. [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]이 위로 유계이지만 아래로 유계가 아닌 경우, [math]\displaystyle{ S\ne\emptyset }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty} a_n=\sup S }[/math]로, [math]\displaystyle{ S=\emptyset }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}a_n=-\infty }[/math]로 정의한다. 만약 [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]이 아래로 유계가 아니면 [math]\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty}a_n = -\infty }[/math]로 정의한다. [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]이 아래로 유계이지만 위로 유계가 아닐 경우, [math]\displaystyle{ S\ne\emptyset }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty} a_n=\inf S }[/math]로, [math]\displaystyle{ S=\emptyset }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty}a_n=\infty }[/math]로 정의한다.

예시

• 일반항이 [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math]인 수열 [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty} a_n = 1 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty}a_n=-1 }[/math]이다.

성질

특별한 언급이 없으면 [math]\displaystyle{ (a_n),(b_n) }[/math]은 유계인 실수열로 간주한다.

• 상극한과 하극한은 유일하다.
  • 상극한이 [math]\displaystyle{ \pm\infty }[/math]일 경우, 즉 수열이 위로 유계가 아니거나 [math]\displaystyle{ S }[/math]가 공집합일 경우, 상극한은 당연히 유일하다. 만약 수열이 위로 유계이며 [math]\displaystyle{ S }[/math]가 공집합이 아닐경우, 상한의 유일성에 의해 상극한의 유일성이 증명된다. 상한의 유일성은 유계를 참조.
• [math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty} (a_n+b_n)\le \limsup_{n\to\infty} a_n + \limsup_{n\to\infty} b_n }[/math]
• [math]\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty} a_n + \liminf_{n\to\infty} b_n \le \liminf_{n\to\infty} (a_n+b_n) }[/math]
• [math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \left(\sup\{a_k:k\ge n\}\right)=\inf \left(\sup\{a_k:k\ge n\}\right) }[/math]
• [math]\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \left(\inf\{a_k:k\ge n\}\right)=\sup \left(\inf\{a_k:k\ge n\}\right) }[/math]
• [math]\displaystyle{ L=\limsup a_n,\,l=\liminf a_n }[/math]이라 하자. 그럼, 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math]이면 [math]\displaystyle{ l-\varepsilon\lt a_n\lt L+\varepsilon }[/math]를 만족하게 하는 [math]\displaystyle{ N\in\mathbb{N} }[/math]이 존재한다.
  • [math]\displaystyle{ L }[/math]과 [math]\displaystyle{ l }[/math]이 실수로서 존재하므로, 수열 [math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\} }[/math]는 유계이다. 이제 주어진 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n\geq L+\varepsilon }[/math]인 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 무한히 많다고 하자. 그럼 적당한 자연수 [math]\displaystyle{ n_1\lt n_2\lt n_3\lt \cdots }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_{n_k}\geq L+\varepsilon }[/math]이 성립한다. [math]\displaystyle{ \left\{a_{n_k}\right\} }[/math]은 분명히 [math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\} }[/math]의 부분수열이므로 유계이고, 곧 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의해 cluster point [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]를 갖는다. 그런데 [math]\displaystyle{ a_{n_k}\geq L+\varepsilon }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \alpha\geq L+\varepsilon }[/math]이고, 이는 상극한의 정의에 모순된다. 즉, [math]\displaystyle{ a_n\geq L+\varepsilon }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ n }[/math]은 유한하고, 곧 적당한 자연수 [math]\displaystyle{ N_1 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ n\gt N_1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ a_n\lt L+\varepsilon }[/math]이다. 비슷한 방법으로 적당한 자연수 [math]\displaystyle{ N_2 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ n\gt N_2 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ a_n\gt l-\varepsilon }[/math]임을 보일 수 있다. [math]\displaystyle{ N=\max\left(N_1,N_2\right) }[/math]라 정의하자. 그럼, [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math]일 때, [math]\displaystyle{ l-\varepsilon\lt a_n\lt L+\varepsilon }[/math]이다.
• [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]이 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]로 수렴할 필요충분조건은 [math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty} a_n = \liminf_{n\to\infty}a_n = \alpha }[/math]인 것이다.
  • 바로 위 명제의 따름정리.
• [math]\displaystyle{ \limsup a_n=-\infty }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=-\infty }[/math]이다. 반대로, [math]\displaystyle{ \liminf a_n=\infty }[/math]이면, [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=\infty }[/math]이다.
  • [math]\displaystyle{ \limsup a_n=-\infty }[/math]라 가정하자. 그럼 [math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\} }[/math]은 위로 유계이지만 [math]\displaystyle{ S=\emptyset }[/math]이다. 만약 수열이 아래로 유계라면 [math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\} }[/math]은 유계이고, 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의해 cluster point [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]를 가진다. 이는 [math]\displaystyle{ S=\emptyset }[/math]이라는 가정에 모순이고, 곧 수열은 아래로 유계가 아니다. 즉, [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=-\infty }[/math]. 반대의 경우도 비슷하게 증명할 수 있다.