집합

집합(Set)은 대상들을 모아 놓은 것을 말한다. 물론 이는 순진한 집합론에서의 이야기이고, 공리적 집합론에서는 러셀의 역설을 피하기 위하여 여러 공리들을 세워 놓았다.

순진한 집합론

정의

순진한 집합론(naive set theory)에서는 칸토어가 처음 정의한 대로, 잘 정의된 수학적 대상을 모아놓은 것을 집합(set)이라고 하며, 이때 집합의 구성 요소를 원소(element)라고 한다. 만약 a가 집합 A의 원소라면,

[math]\displaystyle{ a\in A }[/math]

로 표기한다. 만약 a가 집합 A의 원소가 아니라면,

[math]\displaystyle{ a\not\in A }[/math]

로 표기한다. 만약 집합 A와 B의 원소가 동일하다면 A와 B는 같다고 하고(공리적 집합론에서도 대부분 이를 공리로 받아들인다. 이를 확장 공리라 한다.),

[math]\displaystyle{ A=B }[/math]

로 표기한다. 만약 A의 임의의 원소가 B의 원소라면, A는 B의 부분집합(subset)이라고 하고,

[math]\displaystyle{ A\subseteq(\textrm{or }\subset) B }[/math]

로 표기한다.

집합 A와 B가 주어졌을 때, A와 B에 공통으로 속해 있는 원소를 모두 모은 집합을 A와 B의 교집합(intersection)이라고 하며, A∩B로 표기한다. 즉,

[math]\displaystyle{ A\cap B=\{x:x\in A\wedge x\in B \} }[/math]

한편, A 또는 B에 포함되어 있는 원소를 모두 모은 집합을 A와 B의 합집합(union)이라 하며, A∪B로 표기한다. 즉,

[math]\displaystyle{ A\cup B=\{x: x\in A \vee x\in B \} }[/math]

A에 포함되어 있는 원소들 중에 B의 원소가 아닌 것들을 모두 모은 집합을 A에 대한 B의 차집합이라 하고, [math]\displaystyle{ A\setminus B }[/math]로 나타낸다. 즉,

[math]\displaystyle{ A\setminus B=\{x:x\in A\wedge \neg x\in B\}. }[/math]

기본연산

• 교환법칙

[math]\displaystyle{ A\cap B=B\cap A }[/math]

[math]\displaystyle{ A\cup B=B\cup A }[/math]

• 결합법칙

[math]\displaystyle{ (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C) }[/math]

[math]\displaystyle{ (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C) }[/math]

• 분배법칙

[math]\displaystyle{ A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C) }[/math]

[math]\displaystyle{ A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C) }[/math]

• 드 모르간의 법칙

[math]\displaystyle{ C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B) }[/math]

[math]\displaystyle{ C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B) }[/math]

역설

이발사: 나는 스스로 이발하지 않는 사람의 머리만 깎아줄 거야. 그런데 내 머리는...?

왜 이론 앞에 모자랄 정도로 순진해 빠졌다(naive)라는 단어가 붙었는지 궁금할 것이다. 칸토어는 왜 비참하게 죽었을까? 매우 직관적이고 자연스러우며 '완벽'해보이는 집합의 개념과 논리체계를 자세히 살펴보면 사실 허점 투성이라는 것, 그리고 심지어 그 헛점을 매우려는 노력 자체가 이루어지기 어렵다는 것이 20세기 초에 걸쳐서 밝혀졌다. 이는 주로 자기자신을 대상으로 가리키는 논리를 생각해볼 때 나타나는 문제점들이다. 그 중 대표적인 예로 러셀의 역설이 있다.

집합 [math]\displaystyle{ R }[/math]를 자기 자신을 포함하지 않는 집합의 모임으로 정의하자. 즉,

[math]\displaystyle{ R=\{x: x\not\in x\} }[/math]

이다. 그러면 [math]\displaystyle{ R }[/math]는 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 원소일까? [math]\displaystyle{ R\in R }[/math]라고 가정하자. 그러면 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ R\not\in R }[/math]이므로 모순이다. 만약 [math]\displaystyle{ R\not\in R }[/math]이면 [math]\displaystyle{ R\in R }[/math]이므로 모순이다.

왜 이런 모순이 생겨났을까-하고 보아 하니, 원래 [math]\displaystyle{ R }[/math]이란 건 집합으로서 존재하면 안 됐던 것이다. 즉 자신을 포함하지 않는 집합의 모임은 집합이 아니다. 칸토르가 집합이라는데요? 또한 모든 집합의 모임과 같은 것도 집합이 아님을 쉽게 보일 수 있다. 즉, 너무 커서 집합이 아닌 것을 집합으로 취급하니 모순이 생긴 것이므로, 그를 방지하기 위하여 무엇이 집합인가를 정의하는 공리적 집합론이 탄생하게 된다.

공리적 집합론

자주 쓰이는 집합론의 공리계로는 체르멜로-프렝켈 집합론(선택 공리(AC)의 포함 여부에 따라 ZF, ZFC로 나뉜다.)과 폰 노이만-버나이즈-괴델 집합론이 있다. 이 둘의 결정적인 차이는, 무엇을 무정의로 하느냐이다. ZF의 경우에는 집합을, NBG의 경우에는 모임(class)을 무정의로 한다.

물론 이 공리계들에는 러셀의 역설을 막을 공리들이 있다. 예를 들면 ZF에서는 정칙성 공리와 분류 공리꼴이 러셀의 역설을 막는다.

표현

집합을 표현하는 방법에는 여러 가지가 있지만, 이 문서에서는 세 가지만 소개하기로 한다. 먼저 집합을 논리식을 이용하여 표현하는 방법인 조건제시법이 있다:

[math]\displaystyle{ A=\{x:p\}. }[/math]

또, (모든 원소를 표현할 수 있을 때,) 원소로써 그 집합을 나타내는 원소나열법이 있다:

[math]\displaystyle{ A=\{a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots \}. }[/math]

식이 아닌 다른 방법으로도 집합을 나타낼 수 있다. 가장 대표적인 방법이 벤 다이어그램.

집합의 확장

• Multiset
• 퍼지 집합