벡터장

정의

A를 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math]의 부분집합이라고 하자. 이때 함수 [math]\displaystyle{ \mathbf{F}:A\to \mathbb{R}^n }[/math]이

[math]\displaystyle{ \mathbf{F}(X)=(f_1(X),f_2(X),\dots,f_n(X))=\sum_{i=1}^nf_i(X)\mathbf{e}_{i} }[/math]

로 정의되었을 때, 이를 벡터장(Vector field)이라고 한다. 즉, 벡터장은 공간의 한 점마다 벡터로 대응시키는 함수를 뜻한다.

예시

위치벡터장

[math]\displaystyle{ \mathbf{r}(X)=\sum_{i=1}^nx_i \mathbf{e}_i }[/math]

각원소 벡터장

[math]\displaystyle{ \mathbf{a}(x,y)=\frac{(-y,x)}{x^2+y^2} }[/math]

전기장

이와 관련한 내용은 전기장에서 볼 수 있습니다.

[math]\displaystyle{ \mathbf{r'} }[/math]의 위치에 있는 전하가 전하량 q를 가질 때, [math]\displaystyle{ \mathbf{r} }[/math]에서 전기장은

[math]\displaystyle{ \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|^3}(\mathbf{r}-\mathbf{r'}) }[/math]

으로 주어진다.

벡터장 연산

기울기 벡터장

이와 관련한 내용은 기울기 벡터에서 볼 수 있습니다.

집합 A에 대해 [math]\displaystyle{ A\subseteq\mathbb{R^n} }[/math]이라고 하자. 함수 [math]\displaystyle{ f:A\to R }[/math]에 대해 A의 원소와 f의 기울기 벡터(gradient)

[math]\displaystyle{ \operatorname{grad}f=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\mathbf{e_i} }[/math]

를 대응시키면 벡터장이 된다. 이 벡터장을 기울기 벡터장(gradient vector field)이라고 한다.

발산

이와 관련한 내용은 발산 (벡터)에서 볼 수 있습니다.

벡터장

[math]\displaystyle{ \mathbf{F}(X)=\sum_{i=1}^nf_i(X)\mathbf{e}_{i} }[/math]

에 대해 [math]\displaystyle{ \mathbf{F} }[/math]의 발산(divergence)을

[math]\displaystyle{ \operatorname{div}\mathbf{F}=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f_i}{\partial x_i}\mathbf{e}_i }[/math]

로 정의한다.

회전장

이와 관련한 내용은 회전장에서 볼 수 있습니다.

삼차원 공간의 벡터장

[math]\displaystyle{ \mathbf{F}(x,y,z)=f_1(x,y,z)\mathbf{i}+f_2(x,y,z)\mathbf{j}+f_3(x,y,z)\mathbf{k} }[/math]

에 대해 [math]\displaystyle{ \mathbf{F} }[/math]의 회전장(curl)을

[math]\displaystyle{ \operatorname{curl} \mathbf{F}=\left(\frac{\partial f_3}{\partial y}-\frac{\partial f_2}{\partial z}\right)\mathbf{i}+\left(\frac{\partial f_1}{\partial z}-\frac{\partial f_3}{\partial x}\right)\mathbf{j}+\left(\frac{\partial f_2}{\partial x}-\frac{\partial f_1}{\partial y}\right)\mathbf{k} }[/math]

로 정의한다.

선적분

이와 관련한 내용은 선적분에서 볼 수 있습니다.

벡터장 [math]\displaystyle{ \mathbf{F} }[/math]가 곡선 X의 상(image)을 포함하는 영역에서 정의되어 있으면, 곡선 [math]\displaystyle{ X:[a,b]\to\mathbb{R}^n }[/math]을 따르는 [math]\displaystyle{ \mathbf{F} }[/math]의 선적분(line integral)을 다음과 같이 정의한다.

[math]\displaystyle{ \int_X \mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}=\int_a^b \mathbf{F}(X(t))\cdot X'(t)dt }[/math]

집합 [math]\displaystyle{ A\subseteq\mathbb{R}^n }[/math]에서 정의된 함수 [math]\displaystyle{ f:A\to \mathbb{R}^n }[/math]이 미분가능하고 편도함수가 연속이며, 곡선 [math]\displaystyle{ X:[a,b]\to A }[/math]도 미분가능하고 그 도함수가 연속이라고 하자. 그러면 다음 식이 성립한다(선적분의 기본정리).

[math]\displaystyle{ \int_X \operatorname{grad}f\cdot d\mathbf{s}=f(X(b))-f(X(a)) }[/math]