로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!== 진술 == [[노름]] <math>\|\cdot\|:V\to \mathbb{R}</math>이 [[내적공간]]에서 유도되었을 때, 임의의 <math>\mathbf{x},\mathbf{y}\in V</math>에 대해 다음 [[항등식]]이 성립한다. : <math>\|\mathbf{x}+\mathbf{y}\|^2+\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^2=2\|\mathbf{x}\|^2+2\|\mathbf{y}\|^2</math> 이 항등식을 '''평행사변형 항등식(parallelogram identity)''', 또는 '''평행사변형 법칙(parallelogram law)'''이라고 한다. == 증명 == <math>\|\cdot\|</math>이 내적공간에서 유도되었으므로 주어진 [[내적]]을 <math>(\cdot,\cdot)</math>이라고 하면 : <math>\|\mathbf{x}+\mathbf{y}\|^2=(\mathbf{x}+\mathbf{y},\mathbf{x}+\mathbf{y})=(\mathbf{x},\mathbf{x})+(\mathbf{x},\mathbf{y})+(\mathbf{y},\mathbf{x})+(\mathbf{y},\mathbf{y})</math> : <math>\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^2=(\mathbf{x}-\mathbf{y},\mathbf{x}-\mathbf{y})=(\mathbf{x},\mathbf{x})-(\mathbf{x},\mathbf{y})-(\mathbf{y},\mathbf{x})+(\mathbf{y},\mathbf{y})</math> 이다. 두 식의 양변을 더하면 : <math>\|\mathbf{x}+\mathbf{y}\|^2+\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^2=2(\mathbf{x},\mathbf{x})+2(\mathbf{y},\mathbf{y})</math> 이다. 그러면 : <math>(\mathbf{x},\mathbf{x})=\|\mathbf{x}\|^2,\;(\mathbf{y},\mathbf{y})=\|\mathbf{y}\|^2</math> 이므로 원하는 결론을 얻는다. == 일반화 == 일반적으로 <math>\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\cdots,\mathbf{x}_n\in V</math>에 대해 다음 식이 성립한다. : <math>\sum_{1\le i< j\le n}\|\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j\|^2+\left\|\sum_{i=1}^n \mathbf{x}_i \right\|^2 = n\sum_{i=1}^n \|\mathbf{x}_i\|^2</math> == 내적공간과의 관계 == 만약 노름이 주어진 실수체(복소수체)에서 평행사변형 항등식이 성립하면, 노름을 유도하는 내적이 존재한다는 것이 알려져 있다. === 실수체에서 === 함수 <math>(\cdot,\cdot):V\to \mathbb{R}</math>을 다음과 같이 정의하자. : <math>(\mathbf{x},\mathbf{y})=\frac{1}{2}(\|\mathbf{x}+\mathbf{y}\|^2-\|\mathbf{x}\|^2-\|\mathbf{y}\|^2)</math> 이때 <math>(\cdot,\cdot)</math>이 내적임을 보이자. ==== 조건 (1)과 (1a) ==== : <math>\begin{align} (\mathbf{x},\mathbf{x})&=\frac{1}{2}(\|\mathbf{x}+\mathbf{x}\|^2-\|\mathbf{x}\|^2-\|\mathbf{x}\|^2)\\ &=\frac{1}{2}(4\|\mathbf{x}\|^2-2\|\mathbf{x}\|^2)\\ &=\|\mathbf{x}\|^2 \end{align}</math> 이고, <math>\|\mathbf{x}\|\in \mathbb{R}</math>이므로 <math>\|\mathbf{x}\|^2\ge 0</math>이다. 그리고 <math>(\mathbf{x},\mathbf{x})=0</math>이면 <math>\|\mathbf{x}\|^2=0</math>이므로 <math>\|\mathbf{x}\|=0</math>이다. 따라서 <math>\mathbf{x}=\mathbf{0}</math>이다. ==== 조건 (2) ==== : <math>\begin{align} (\mathbf{x},\mathbf{z})+(\mathbf{y},\mathbf{z})&=\frac{1}{2}(\|\mathbf{x}+\mathbf{z}\|^2-\|\mathbf{x}\|^2-\|\mathbf{z}\|^2)+\frac{1}{2}(\|\mathbf{y}+\mathbf{z}\|^2-\|\mathbf{y}\|^2-\|\mathbf{z}\|^2)\\ &=\frac{1}{2}(\|\mathbf{x}+\mathbf{z}\|^2+\|\mathbf{y}+\mathbf{z}\|^2)-\frac{1}{2}\|\mathbf{x}\|^2-\frac{1}{2}\|\mathbf{y}\|^2-\|\mathbf{z}\|^2\\ &=\frac{1}{4}\|\mathbf{x}+\mathbf{y}+2\mathbf{z}\|^2+\left(\frac{1}{4}\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^2-\frac{1}{2}\|\mathbf{x}\|^2-\frac{1}{2}\|\mathbf{y}\|^2\right)-\|\mathbf{z}\|^2\\ &=\frac{1}{4}\|\mathbf{x}+\mathbf{y}+2\mathbf{z}\|^2-\frac{1}{4}\|\mathbf{x}+\mathbf{y}\|^2-\|\mathbf{z}\|^2\\ &=\left(\frac{1}{2}\|\mathbf{x}+\mathbf{y}+\mathbf{z}\|^2+\frac{1}{2}\|\mathbf{z}\|^2-\frac{1}{4}\|\mathbf{x}+\mathbf{y}\|^2\right)-\frac{1}{4}\|\mathbf{x}+\mathbf{y}\|^2-\|\mathbf{z}\|^2\\ &=\frac{1}{2}\|\mathbf{x}+\mathbf{y}+\mathbf{z}\|^2-\frac{1}{2}\|\mathbf{x}+\mathbf{y}\|^2-\frac{1}{2}\|\mathbf{z}\|^2\\ &=(\mathbf{x}+\mathbf{y},\mathbf{z}) \end{align}</math> 임을 안다. ==== 조건 (3) ==== 조건 (2)를 증명하였으므로 <math>m,n\in \mathbb{N}</math>에 대해 다음 식이 성립함을 쉽게 알 수 있다. : <math>(n\mathbf{x},\mathbf{y})=n(\mathbf{x},\mathbf{y})</math> : <math>m(m^{-1}n\mathbf{x},\mathbf{y})=n(\mathbf{x},\mathbf{y})</math> 그리고 : <math>\begin{align} (-\mathbf{x},\mathbf{y})&=\frac{1}{2}\|-\mathbf{x}+\mathbf{y}\|^2-\frac{1}{2}\|-\mathbf{x}\|^2-\frac{1}{2}\|\mathbf{y}\|^2\\ &=\frac{1}{2}\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^2-\frac{1}{2}\|\mathbf{x}\|^2-\frac{1}{2}\|\mathbf{y}\|^2\\ &=\|\mathbf{x}\|^2+\|\mathbf{y}\|^2-\frac{1}{2}\|\mathbf{x}+\mathbf{y}\|^2-\frac{1}{2}\|\mathbf{x}\|^2-\frac{1}{2}\|\mathbf{y}\|^2\\ &=-\frac{1}{2}(\|\mathbf{x}+\mathbf{y}\|^2+\|\mathbf{x}\|^2+\|\mathbf{y}\|^2)\\ &=-(\mathbf{x},\mathbf{y}) \end{align}</math> 이다. 따라서 임의의 <math>c\in \mathbb{Q}</math>에 대해, <math>c=\frac{p}{q}</math>라 두면 : <math>q(c\mathbf{x},\mathbf{y})=q\left(\frac{p}{q}\mathbf{x},\mathbf{y}\right)=p(\mathbf{x},\mathbf{y})</math> 이고 양변에 <math>\frac{1}{q}</math>를 곱하면 : <math>(c\mathbf{x},\mathbf{y})=c(\mathbf{x},\mathbf{y})</math> 를 얻는다. [[다항함수]] <math>p:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>를 다음과 같이 정의하자. : <math>p(t)=t^2\|\mathbf{x}\|^2+2t(\mathbf{x},\mathbf{y})+\|\mathbf{y}\|^2</math> 만약 <math>t\in \mathbb{Q}</math>라면 : <math>\begin{align} p(t)&=\| t\mathbf{x}\|^2+\|\mathbf{y}\|^2+2(t\mathbf{x},\mathbf{y})\\ &=\|t\mathbf{x}|^2+\|\mathbf{y}\|^2+2\cdot \frac{1}{2}(\|t\mathbf{x}+\mathbf{y}\|^2-\|t\mathbf{x}\|-\|\mathbf{y}\|^2)\\ &=\|t\mathbf{x}+\mathbf{y}\|^2 \end{align}</math> 이다. ''p''가 [[연속함수]]이므로 임의의 <math>t\in \mathbb{R}</math>에 대해 <math>p(t)\ge 0</math>이고, 이차함수의 [[판별식]]은 0 이하이므로 : <math>(\mathbf{x},\mathbf{y})^2-\|\mathbf{x}\|^2\|\mathbf{y}\|^2\le 0</math> 임을 알 수 있다. 이 부등식은 바로 [[코시-슈바르츠 부등식]]이다. 한편, <math>a\in \mathbb{R}</math>가 주어졌을 때 임의의 <math>b\in \mathbb{Q}</math>에 대해 삼각부등식에 의해 : <math>\begin{align} |(a\mathbf{x},\mathbf{y})-a(\mathbf{x},\mathbf{y})|&=|((a-b)\mathbf{x},\mathbf{y})+(b-a)(\mathbf{x},\mathbf{y})|\\ &\le |((a-b)\mathbf{x},\mathbf{y})|+|(b-a)(\mathbf{x},\mathbf{y})| \end{align}</math> 이다. 그러면 : <math>((a-b)\mathbf{x},\mathbf{y})^2 \le \|(a-b)\mathbf{x}\|^2\|\mathbf{y}\|^2=(a-b)^2\|\mathbf{x}\|^2\|\mathbf{y}\|^2</math> 이므로 : <math>|((a-b)\mathbf{x},\mathbf{y})|\le |a-b|\|\mathbf{x}\|\|\mathbf{y}\|</math> 이고 : <math>|(b-a)(\mathbf{x},\mathbf{y})|\le |b-a|\|\mathbf{x}\|\|\mathbf{y}\|</math> 이므로 : <math>|((a-b)\mathbf{x},\mathbf{y})|+|(b-a)(\mathbf{x},\mathbf{y})|\le 2|a-b|\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|</math> 를 얻는다. <math>|a-b|</math>를 임의로 작게 할 수 있으므로 : <math>(a\mathbf{x},\mathbf{y})=a(\mathbf{x},\mathbf{y})</math> 를 얻는다. ==== 조건 (4) ==== : <math>\begin{align} (\mathbf{x},\mathbf{y})&=\frac{1}{2}(\|\mathbf{x}+\mathbf{y}\|^2-\|\mathbf{x}\|^2-\|\mathbf{y}\|^2)\\ &=\frac{1}{2}(\|\mathbf{y}+\mathbf{x}\|^2-\|\mathbf{y}\|^2-\|\mathbf{x}\|^2)\\ &=(\mathbf{y},\mathbf{x}) \end{align}</math> 이다. === 복소수체에서 === 함수 <math>(\cdot,\cdot):V\to \mathbb{C}</math>를 다음과 같이 정의하자. : <math>(\mathbf{x},\mathbf{y})=\frac{1}{2}(\|\mathbf{x}+\mathbf{y}\|^2-\|\mathbf{x}\|^2-\|\mathbf{y}\|^2)+\frac{i}{2}(\|\mathbf{x}+i\mathbf{y}\|^2-\|\mathbf{x}\|^2-\|\mathbf{y}\|^2)</math> [[분류:선형대수학]] [[분류:항등식]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț