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''L/K''가 finite extension일 때 :<math> \mathrm{Aut}(L/K)=\{\sigma:L\to L| \sigma\text{ is a field isomorphism and }\sigma(x)=x\text{ for all }x\in K\}</math> 라고 정의하자. 이는 직관적으로 ''L/K''의 모든 대칭성들을 모아놓은 집합이라고 보면 된다. 이는 함수의 합성 기호로 group이 됨을 쉽게 알 수 있다. ''L/K''가 '''separable extension''이란 것은 모든 irreducible polynomial, 그러니까 인수분해가 ''K''에서 불가능한 polynomial이 ''L''에서 zero를 가지기만 한다면 ''K''의 algebraic closure에선 완벽하게 서로 다른 일차항들의 곱으로 표현된다는 것이다. 이는 대칭성의 관점에서 본다면 모든 ''L''의 원소들은 대칭성을 조금만 가지고 있는 것이 아닌 완벽한 대칭성을 가진다는 것이다. 선대칭변환을 하는데 변환 자체를 못 하면 안 되니까. 근데 여기엔 문제가 하나 있는데, 그 대칭한 결과가 다시 ''L'' 안에 들어가는가? ''L'' 안에 다시 들어가지 않는다면 많이 슬플 것이다. ''L/K''가 '''normal extension'''이란 것은 ''L''에서 zero를 갖는 모든 irreducible polynomial with ''K''-coefficient들은 ''L''에서 완벽하게 일차항들의 곱으로 인수분해 할 수 있다는 것이다. 여기에서 ''L''에서란 말은 coefficient들이 모두 ''L''의 원소란 말이다. 이는 대칭성의 관점에서 보면 대칭한 결과가 다시 ''L''안으로 들어온다는 것이다. 그렇다면 ''L/K''가 '''Galois extension'''이라는 것은 ''L/K''가 우리가 만족할 만한 모든 대칭성을 가진다는 의미를 가진다. 정확히는, ''L/K''가 separable이고 normal인 extension일 때를 말한다. 그리고 이 때 :<math> \mathrm{Gal}(L/K)=\mathrm{Aut}(L/K)</math> 라고 정의한다. 그리고 이 group을 '''Galois group'''이라고 부른다. ''L/K''가 Galois extension이라는 것은 ''n''이 ''L/K''의 degree일 때 :<math> n=|\mathrm{Aut}(L/K)| </math> 라는 것과 동치다. '''Fundamental theorem of Galois theory'''는 ''L/K''의 interminate field ''<nowiki>L'</nowiki>''하고 <math> \mathrm{Gal}(L/K)</math>의 subgroup 사이의 관계를 말해준다. <math> \mathrm{Gal}(L/K)</math>의 subgroup 하나를 ''G''라고 하면 :<math> L^{G}=\{x\in L|\sigma(x)=x\text{ for all }\sigma\in G\}</math> 라고 정의하자. 그렇다면 <math> G\mapsto L^{G}</math>는 :<math> \{\text{Subgroups of }\mathrm{Gal}(L/K)\}\longrightarrow \{\text{finite extensions }L'/K \text{ that is }L'\subset L\}</math> 를 bijection으로 만들고, 여기에다가 더해서 ''G''가 <math> \mathrm{Gal}(L/K)</math>의 normal subgroup이란 것은 <math> L^{G}/K</math>가 Galois extension이라는 것과 동치고, :<math> \mathrm{Gal}(L^{G}/K)=\mathrm{Gal}(L/K)/G</math> 가 된다. 그리고 ''G''가 normal이 아니더라도 :<math> \mathrm{deg}(L^{G}/K)=|\mathrm{Gal}(L/K)|/|G|</math> 가 된다. 우리는 이를 이용해서 <math> \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{11}</math>이 무리수임을 보이자. ''K''가 field고 ''a''가 ''K''엔 없는 원소일 때 :<math> K(a)=\left\{\frac{p(a)}{q(a)}|p,q\text{ is polynomials with coefficient in }K\right\}</math> 라고 정의하고, <math> K(a,b)</math>는 <math>K(a)(b)</math>를 뜻한다고 하자. 여기에서 <math> K(a)(b)=K(b)(a)</math>이며, 쉽게 증명할 수 있다. 그렇다면 :<math> \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{11}\in \Bbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{7},\sqrt{11})</math> 가 됨을 쉽게 알 수 있다. 그리고 오른쪽의 field를 간단하게 ''K''라고 쓴다면 <math>K/\Bbb{Q}</math>의 degree는 32가 되고, Galois extension이 된다. 그리고 그 Galois group엔 <math>\sqrt{2}</math>가 곱해진 부분의 부호를 몽땅 다 바꿔버리는 원소가 포함되어 있고, (사실 그 Galois group은 정확하게 :<math> \Bbb{Z}/2\Bbb{Z}\times \Bbb{Z}/2\Bbb{Z}\times \Bbb{Z}/2\Bbb{Z}\times \Bbb{Z}/2\Bbb{Z}\times \Bbb{Z}/2\Bbb{Z}</math> 가 된다.) 이것을 <math> \sigma_{\sqrt{2}}</math>라고 이름을 붙인다면 :<math>\sigma_{\sqrt{2}}(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{11})=-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{11}</math> 이 된다. 즉 가만히 있지 않고 움직였다! 따라서 fundamental theorem of Galois theory에 의해서 이 숫자는 무리수가 된다. ===응용=== 이 증명방법을 응용하면 Galois가 처음으로 Galois theory를 탄생시킨 이유가 된 ''사칙연산과 제곱근만으로 방정식을 풀 수 있는가''에 대한 답을 낼 수 있다. 사칙연산은 field에 아무런 영향을 주지 않고, 제곱근은 기껏해야 Galois group이 cyclic인 extension을 만들 뿐이다. 그렇다면 이렇게 cyclic group을 쌓다 보면 solvable group이 만들어지고, 이제 우리가 만든 그 group이 solvable이 아님을 보이면 근의 공식은 없는 것이 된다. 거꾸로 카르다노의 방법과 페라리의 방법은 Frobenius theorem으로 진짜로 존재하는 방법임을 보일 수 있다. 하지만 5차방정식부턴 그 해들을 모두 붙혀서 만든 field가 원래 field와 비교했을 때 해를 섞는 방법을 생각했을 때 그 Galois group이 <math> S_5</math>가 되고, 이것은 solvable group이 아니라서 결국 5차방정식의 근의 공식은 없게 된다. 정수론에서도 많이 응용된다. 특히 prime ideal에 Galois group이 act하는데, 그걸 중심으로 Frobenius element라는 것을 정의한다. Galois group은 사실 정수론적 정보도 많이 갖고 있는 것이다!! 우리가 대학교 2학년 정수론에서 배우는 Legendre symbol은 사실 Galois group의 원소를 계산하는 것이며, 서로소들의 집합은 사실 cyclotomic extension의 Galois group인 것이다. 사실 정수론의 거의 모든 것은 Galois theory로 다시 표현할 수 있다는 것이다. 어떤 고등학교 교과서에서 Galois theory는 DNA 분석에도 이용된다는데... [[추가바람]] {{각주}} [[분류:대수학]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț