로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요! {{다른 뜻|정의역}} == 정의 == [[가환환]] <math>R</math>에 대해 [[항등원]] <math>1_R\ne 0_R</math>이 존재하고 임의의 두 원소 <math>a,b</math>에 대해 : <math>ab=0 \Rightarrow a=0_R \text{ or }b=0_R</math> 이면 '''정역(integral domain)'''이라고 한다. 즉, 정역은 항등원이 존재하고 [[영인자]]가 없는 가환환이다. == 예시 == * <math>\mathbb{Z}</math> * <math>p</math>가 [[소수]]일 때, <math>\mathbb{Z}_p</math> * <math>D</math>가 정역일 때, [[다항식환]] <math>D[x]</math> * 임의의 [[체 (수학)|체]]<ref>영인자는 단위원이 될 수 없기 때문이다. 혹은 나눗셈이 가능하면 소거법칙은 당연히 성립하기 때문이다.</ref> == 성질 == * (소거법칙) 정역 <math>R</math>의 원소 <math>a,\;b,\;c</math>에 대해 <math>a\ne 0_R</math>이고 <math>ab=ac</math>이면 <math>b=c</math>이다. * 정역의 [항등원이 있는 부분환]은 정역이다. 따라서 체의 [항등원이 있는 부분환]도 정역이다. ** 증명) 거의 자명한데, 정역 ''R''의 부분환 ''S''가 항등원 1<sub>''S''</sub>를 가지면 항상 1<sub>''R''</sub>=1<sub>''S''</sub>인지는 꼭 한 번 확인해야 한다. 물론 이는 위 소거법칙의 결과이다. 즉, ''S''의 등식 1<sub>''S''</sub>1<sub>''S''</sub>=1<sub>''S''</sub>와 ''R''의 등식 1<sub>''S''</sub>=1<sub>''S''</sub>1<sub>''R''</sub>을 붙여 놓고 양변에서 1<sub>''S''</sub>를 소거하면 된다. ** 한편 체의 [항등원이 있는 부분환]이 항상 체인 것은 아니다. 체의 [항등원이 있는 부분환]으로서 체에서 물려받은 연산에 관하여 다시 체가 되는 것은 부분체(subfield)라고 한다. * 유한집합인 정역은 [[체 (수학)|체]]이다. 또, 유한차원 ''K''벡터공간인 정역도 체이다.<ref>물론 ''K''상수곱은 정역 자체의 곱셈과 compatible해야 한다.</ref> ** 증명) **: 위 조건을 만족하는 정역 <math>R</math>의 임의의 원소 <math>a\in R</math>에 대해, 곱셈에 대한 역원 <math>a^{-1}</math>이 <math>R</math>에 존재함을 보이면 된다. **: 이제 <math>a</math>를 왼쪽에 곱하는 함수 <math>\lambda_a : R \to R,\; x \mapsto ax</math>를 생각하면, 이 함수는 위 소거법칙 때문에 단사함수이다. **: 그리고 위 단사함수는 곧 전단사함수가 되는데, 유한집합인 경우에는 유한집합이라 그렇고, 유한차원 ''K''벡터공간인 경우에는 위 단사함수는 ''K''단사사상인데 유한차원 벡터공간이라 그렇다. **: 따라서 <math>1 = ab = ba</math>인 <math>b\in R</math>이 존재한다. [[분류:환론]] {{주석}} 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:다른 뜻 (원본 보기) (준보호됨)틀:주석 (편집)