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Ergodic theory는 돌아다니는 무언가를 연구하는 학문이라고 할 수 있다. 그 돌아다니는 것이 기체 입자일 수도, 아니면 자연수일 수도 있다. 그 뿐만 아니라 정수쌍일 수도 있고, 어떤 Lie group의 원소일 수도 있으며, 심지어 대수적 정수론에 쓰이는 adele일 수도 있다. == 설명 == ''X''가 measurable space라고 하자. 그리고 measure μ를 생각하자. 그렇다면 ''X''의 measurable function <math> T:X\to X</math>가 measure-preserving transformation이라는 것은 모든 measurable set ''E''에 대해서 <math> T^{-1}(E)=E</math> 를 만족하는 것이다. 그리고 ''(X,T)'', 또는 σ-algebra와 measure를 같이 써서 <math> (X,\mathfrak{M},\mu,T)</math>를 measure-preserving system이라고 한다. measure-preserving system이 ergodic하다는 것은 irreducible이랑 비슷한 의미라고 생각하면 된다. 전체 공간은 여러 군데로 나뉘어서 끼리끼리 돌아다니지 않고, 공평하게 돌아다닌다는 것이 ergodic이다. measure-preserving system ''(X,T)''가 ergodic이라는 것은 모든 measurable set ''A''에 대해서 <math> T^{-1}(A)=A \iff \mu(A)=0 \text{ or }1</math> 이라는 것이다. 이것들은 놀라운 결과들을 만족하는데, pointwise ergodic theorem은 <math> f\in L^1(X,\mu)</math>일 때 <math> \lim_{N\to \infty}\frac{1}{N}\sum^{N}_{n=1}f(T^{n}(x))</math> 가 거의 모든 ''x''에 대해서 수렴하라고 말하고 있으며, 특히 ''(X,T)''가 ergodic이라면 이 값은 정확히 <math> \int_{X}f\,\mathrm{d}\mu</math> 라고 하고 있다. == 놀라운 결과들 == ===앞자리에 무엇이 올까=== 2<sup> n</sup>의 맨 앞자리에 무엇이 올 지를 생각해 보자. '''2''','''4''','''8''','''1'''6,'''3'''2,'''6'''4,'''1'''28,'''2'''56,'''5'''12,'''1'''024,'''2'''048,'''4'''086,'''8'''182,'''1'''6364,'''3'''2768,'''6'''5536,... 앞자리만 따면 '''2''','''4''','''8''','''1''','''3''','''6''','''1''','''2''','''5''','''1''','''2''','''4''','''8''','''1''','''3''','''6''',... 이렇게 이어진다. 여기 안엔 1이 4개, 2가 3개, 3이 2개, 4가 2개, 5가 1개, 6이 2개, 7은 없고, 8이 하나, 9는 없다. 뭔가 느껴지는 것이 있을 것이다. 2<sup>n</sup>은 큰 숫자를 자기 앞자리로 잘 받아들이지 않는다!! ergodic theory의 관점에서 본다면 이는 ''2''가 곱해지는 것이고, 이는 ''2''가 곱해지는 만큼 어떤 공간이 마구 움직인다는 것이다. ''2<sup>n</sup>''의 맨 앞자리가 ''a''라는 것은 <math> \log_{10}{a}\le \log_{10}{2^n}-[\log_{10}{2^n}]<\log_{10}{(a+1)} </math> 라는 것과 같다. 이제 부등식 중간에 낀 가우스 기호 있는 무언가가 거추장스러우니 <math> \Bbb{R}</math>에서 생각하지 말고 <math> \Bbb{R}/\Bbb{Z}</math>에서 생각하자. ergodic theory는 compact space에서 큰 힘을 발휘하며, 여기에서도 그렇게 할 것이다. <math> \Bbb{R}/\Bbb{Z} </math>에서 <math> x\mapsto x+\log_{10}(2)</math>는 Lebesgue measure에 과 함께 ergodic인 measure-preserving system을 만든다. 그렇다면 이를 ''T''라고 쓰고 ''A''를 ''[log<sub>10</sub>a,log<sub>10</sub>(a+1)]''라고 한다면 <math> f(x)=\chi_{A}(x)=\begin{cases} 1 & \text{ if }x\in A \\ 0 & \text{ if }x\notin A \end{cases}</math> 라고 하자. 그렇다면 pointwise ergodic theorem은 <math> \lim_{N\to \infty}\frac{1}{N}\sum^{N}_{n=1}f(T^n(0))=\int_{A}f\,\mathrm{d}m_{\text{Lebesgue}}=\log_{10}{\left(\frac{a+1}{a}\right)} </math> 를 알려준다. 좌변은 <math> T^n(0)=\log_{10}(2^n)</math>에서 ''2<sup>n</sup>''의 맨 앞자리에 ''a''가 올 확률이라고 볼 수 있다. 여기에서 ''0''이 그 a.e. sense에서 제외될 수도 있는데, ''T''는 uniquely ergodic이므로 걱정하지 않아도 된다. uniquely ergodic이란 대충 말해서 대응되는 measure가 하나밖에 없는 애를 말한다. 정리하면 2<sup>n</sup> 맨 앞자리에 ''a''가 올 확률은 <math> \log_{10}{\left(\frac{a+1}{a}\right)}</math> 가 된다. 그러니까 ''a''가 커질수록 이 값은 작아지고, 우리의 직관이 맞았다. 이제 누가 ''n''을 아무거나 잡아서 ''2<sup>4928310504035709435</sup>''의 맨 앞자리수를 맞추는 것으로 내기를 건다면, 직접 계산하기 귀찮다면 ''1''이라고 말해도 좋다. 30.1%의 확률로 정답일 것이다. 이것을 좀 더 엄밀하게 만드는 것은 weak* topology니 measure들 모은 것의 extreme point니 여러 가지를 말해야 하므로 생략한다. ===연분수=== 모든 무리수는 무한연분수로 표현할 수 있다. 대표적으로 π는 <math> \pi=3+\dfrac{1}{7+\dfrac{1}{15+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{292+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\ddots}}}}}}}}}}}}</math> 로 표현할 수 있고, 자연상수 ''e''는 <math> e=2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{4+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{6+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{8+\dfrac{1}{\ddots}}}}}}}}}}}}</math> 로 π와는 다르게 규칙적으로 표현된다. 그리고 <math> \tanh{1}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{5+\dfrac{1}{7+\dfrac{1}{9+\dfrac{1}{11+\dfrac{1}{13+\dfrac{1}{15+\dfrac{1}{17+\dfrac{1}{19+\dfrac{1}{21+\dfrac{1}{\ddots}}}}}}}}}}}} </math> 은 매우 규칙성이 있고, tanh가 아닌 tan. 그러니까 그냥 삼각함수는 <math> \tan{1}=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{5+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{7+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{9+\dfrac{1}{\ddots}}}}}}}}}}}}} </math> 로 역시 매우 규칙적이다. 하지만 필자가 생각하기로는 가장 규칙적인 연분수는 <math> \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\ddots}}}}}}}}}}}}}</math> 같다. 사실 이것들은 매우 예외적인 경우로, 거의 대부분은 불규칙적이다. 하지만 그 불규칙적인 것에서도 ergodic theory와 함께라면 매우 규칙적인 수들로 바뀐다. <math> T:[0,1]\setminus \Bbb{Q}\to [0,1]\setminus \Bbb{Q}</math>를 <math> T(x)=\frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right]</math> 라고 정의하자. 그렇다면 이것은 연분수에서 ''n''번째에 오는 숫자가 무엇인지 알려준다. 그리고 이것은 <math> \mu(A)=\frac{1}{\ln{2}}\int_{A}\frac{1}{1+x}\,\mathrm{d}m_{\text{Lebesgue}}</math> 에 대해서 ergodic이다. 그리고 아로부터 얻을 수 있는 것들은 매우 놀라운데, n번째까지만 연분수 전개하고 기약분수 형태로 정리한 것을 <math> \frac{p_n(x)}{q_n(x)}</math> 라고 한다면 거의 모든 <math> x\in [0,1]</math>에 대해서 <math> \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\ln{q_n(x)}=\frac{\pi^2}{12\ln{2}}</math> 가 된다. 그리고 <math> \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\ln{\left|x-\frac{p_n(x)}{q_n(x)}\right|}=-\frac{\pi^2}{6\ln{2}}</math> 이 된다. 이쯤되면 무섭다 (...)<del>자꾸 [[원주율]]이 나온다. 역시 원주율은 신이 주신 선물...</del> 그리고 연분수를 표현할 때 쓰는 숫자 하나를 집었을 때 그 숫자가 ''N''일 확률은 <math> \frac{2\ln{(N+1)}-\ln{N}-\ln{(N+2)}}{\ln{2}}</math> 가 된다. 하지만 위하고는 달리 여기에서 ''T''는 uniquely ergodic이 아니라서 예외가 몇몇 있는데, 그 예외가 바로 자연상수 ''e'', ''tanh(1)'',''tan(1)'',<math> \varphi</math>같은 애들. 매우 아름답고 규칙적이라고 생각했던 이 애들이 ergodic theory가 나타나니까 갑자기 규칙성을 깨는 이단으로 변해버렸다. (...) === Equidistribution === === Szemeredi theorem and Green-Tao theorem=== === Oppenheim's conjecture === === Linnik ergodic method === [[분류:해석학]] [[분류:이론]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț