개요[편집 | 원본 편집]
에르고드 이론 (Ergodic theory)은 해석학의 한 분야로 직관적으로 말해서 어떻게 돌아다닐까??의 이야기다. 간단한 생각을 해보자. 어떤 상자 안에 기체 입자 몇 개가 있다고 해보자. 그렇다면 그 기체 입자들은 계속 돌아다니고, 상자 안에 있으므로 벽에 부딛혀 반사될 것이다. 그렇다면, 상자의 어느 부분을 생각한다고 할 때, 그 상자의 어느 부분에 기체 입자가 언젠간 올까?? 온다면 몇 초쯤에 올까. 모든 입자의 속도를 1m/s라고 하고 부피는 m3 단위로 재자. pointwise ergodic theorem에 의하면 상자 전체의 부피를 V, 그 어느 부분의 부피를 V' 라고 한다면 처음으로 그곳에 기체 입자가 오는데 걸리는 시간은 평균 nV'/V초이다. 여기에서 n은 기체 입자의 숫자다. 당연해 보이는가?? 입자는 어느 곳에든 올 수 있으며, 그 정도는 평등하다.
Ergodic theory는 돌아다니는 무언가를 연구하는 학문이라고 할 수 있다. 그 돌아다니는 것이 기체 입자일 수도, 아니면 자연수일 수도 있다. 그 뿐만 아니라 정수쌍일 수도 있고, 어떤 Lie group의 원소일 수도 있으며, 심지어 대수적 정수론에 쓰이는 adele일 수도 있다.
설명[편집 | 원본 편집]
X가 measurable space라고 하자. 그리고 measure μ를 생각하자. 그렇다면 X의 measurable function [math]\displaystyle{ T:X\to X }[/math]가 measure-preserving transformation이라는 것은 모든 measurable set E에 대해서
[math]\displaystyle{ T^{-1}(E)=E }[/math]
를 만족하는 것이다. 그리고 (X,T), 또는 σ-algebra와 measure를 같이 써서 [math]\displaystyle{ (X,\mathfrak{M},\mu,T) }[/math]를 measure-preserving system이라고 한다.
measure-preserving system이 ergodic하다는 것은 irreducible이랑 비슷한 의미라고 생각하면 된다. 전체 공간은 여러 군데로 나뉘어서 끼리끼리 돌아다니지 않고, 공평하게 돌아다닌다는 것이 ergodic이다. measure-preserving system (X,T)가 ergodic이라는 것은 모든 measurable set A에 대해서
[math]\displaystyle{ T^{-1}(A)=A \iff \mu(A)=0 \text{ or }1 }[/math]
이라는 것이다.
이것들은 놀라운 결과들을 만족하는데, pointwise ergodic theorem은 [math]\displaystyle{ f\in L^1(X,\mu) }[/math]일 때
[math]\displaystyle{ \lim_{N\to \infty}\frac{1}{N}\sum^{N}_{n=1}f(T^{n}(x)) }[/math]
가 거의 모든 x에 대해서 수렴하라고 말하고 있으며, 특히 (X,T)가 ergodic이라면 이 값은 정확히
[math]\displaystyle{ \int_{X}f\,\mathrm{d}\mu }[/math]
라고 하고 있다.
놀라운 결과들[편집 | 원본 편집]
앞자리에 무엇이 올까[편집 | 원본 편집]
2 n의 맨 앞자리에 무엇이 올 지를 생각해 보자. 2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4086,8182,16364,32768,65536,... 앞자리만 따면 2,4,8,1,3,6,1,2,5,1,2,4,8,1,3,6,... 이렇게 이어진다. 여기 안엔 1이 4개, 2가 3개, 3이 2개, 4가 2개, 5가 1개, 6이 2개, 7은 없고, 8이 하나, 9는 없다. 뭔가 느껴지는 것이 있을 것이다. 2n은 큰 숫자를 자기 앞자리로 잘 받아들이지 않는다!! ergodic theory의 관점에서 본다면 이는 2가 곱해지는 것이고, 이는 2가 곱해지는 만큼 어떤 공간이 마구 움직인다는 것이다. 2n의 맨 앞자리가 a라는 것은
[math]\displaystyle{ \log_{10}{a}\le \log_{10}{2^n}-[\log_{10}{2^n}]\lt \log_{10}{(a+1)} }[/math]
라는 것과 같다. 이제 부등식 중간에 낀 가우스 기호 있는 무언가가 거추장스러우니 [math]\displaystyle{ \Bbb{R} }[/math]에서 생각하지 말고 [math]\displaystyle{ \Bbb{R}/\Bbb{Z} }[/math]에서 생각하자. ergodic theory는 compact space에서 큰 힘을 발휘하며, 여기에서도 그렇게 할 것이다.
[math]\displaystyle{ \Bbb{R}/\Bbb{Z} }[/math]에서 [math]\displaystyle{ x\mapsto x+\log_{10}(2) }[/math]는 Lebesgue measure에 과 함께 ergodic인 measure-preserving system을 만든다. 그렇다면 이를 T라고 쓰고 A를 [log10a,log10(a+1)]라고 한다면
[math]\displaystyle{ f(x)=\chi_{A}(x)=\begin{cases} 1 & \text{ if }x\in A \\ 0 & \text{ if }x\notin A \end{cases} }[/math]
라고 하자. 그렇다면 pointwise ergodic theorem은
[math]\displaystyle{ \lim_{N\to \infty}\frac{1}{N}\sum^{N}_{n=1}f(T^n(0))=\int_{A}f\,\mathrm{d}m_{\text{Lebesgue}}=\log_{10}{\left(\frac{a+1}{a}\right)} }[/math]
를 알려준다. 좌변은 [math]\displaystyle{ T^n(0)=\log_{10}(2^n) }[/math]에서 2n의 맨 앞자리에 a가 올 확률이라고 볼 수 있다. 여기에서 0이 그 a.e. sense에서 제외될 수도 있는데, T는 uniquely ergodic이므로 걱정하지 않아도 된다. uniquely ergodic이란 대충 말해서 대응되는 measure가 하나밖에 없는 애를 말한다. 정리하면 2n 맨 앞자리에 a가 올 확률은
[math]\displaystyle{ \log_{10}{\left(\frac{a+1}{a}\right)} }[/math]
가 된다. 그러니까 a가 커질수록 이 값은 작아지고, 우리의 직관이 맞았다. 이제 누가 n을 아무거나 잡아서 24928310504035709435의 맨 앞자리수를 맞추는 것으로 내기를 건다면, 직접 계산하기 귀찮다면 1이라고 말해도 좋다. 30.1%의 확률로 정답일 것이다. 이것을 좀 더 엄밀하게 만드는 것은 weak* topology니 measure들 모은 것의 extreme point니 여러 가지를 말해야 하므로 생략한다.
연분수[편집 | 원본 편집]
모든 무리수는 무한연분수로 표현할 수 있다. 대표적으로 π는
[math]\displaystyle{ \pi=3+\dfrac{1}{7+\dfrac{1}{15+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{292+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\ddots}}}}}}}}}}}} }[/math]
로 표현할 수 있고, 자연상수 e는
[math]\displaystyle{ e=2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{4+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{6+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{8+\dfrac{1}{\ddots}}}}}}}}}}}} }[/math]
로 π와는 다르게 규칙적으로 표현된다. 그리고
[math]\displaystyle{ \tanh{1}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{5+\dfrac{1}{7+\dfrac{1}{9+\dfrac{1}{11+\dfrac{1}{13+\dfrac{1}{15+\dfrac{1}{17+\dfrac{1}{19+\dfrac{1}{21+\dfrac{1}{\ddots}}}}}}}}}}}} }[/math]
은 매우 규칙성이 있고, tanh가 아닌 tan. 그러니까 그냥 삼각함수는
[math]\displaystyle{ \tan{1}=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{5+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{7+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{9+\dfrac{1}{\ddots}}}}}}}}}}}}} }[/math]
로 역시 매우 규칙적이다. 하지만 필자가 생각하기로는 가장 규칙적인 연분수는
[math]\displaystyle{ \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\ddots}}}}}}}}}}}}} }[/math]
같다.
사실 이것들은 매우 예외적인 경우로, 거의 대부분은 불규칙적이다. 하지만 그 불규칙적인 것에서도 ergodic theory와 함께라면 매우 규칙적인 수들로 바뀐다. [math]\displaystyle{ T:[0,1]\setminus \Bbb{Q}\to [0,1]\setminus \Bbb{Q} }[/math]를
[math]\displaystyle{ T(x)=\frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right] }[/math]
라고 정의하자. 그렇다면 이것은 연분수에서 n번째에 오는 숫자가 무엇인지 알려준다. 그리고 이것은
[math]\displaystyle{ \mu(A)=\frac{1}{\ln{2}}\int_{A}\frac{1}{1+x}\,\mathrm{d}m_{\text{Lebesgue}} }[/math]
에 대해서 ergodic이다. 그리고 아로부터 얻을 수 있는 것들은 매우 놀라운데, n번째까지만 연분수 전개하고 기약분수 형태로 정리한 것을
[math]\displaystyle{ \frac{p_n(x)}{q_n(x)} }[/math]
라고 한다면 거의 모든 [math]\displaystyle{ x\in [0,1] }[/math]에 대해서
[math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\ln{q_n(x)}=\frac{\pi^2}{12\ln{2}} }[/math]
가 된다. 그리고
[math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\ln{\left|x-\frac{p_n(x)}{q_n(x)}\right|}=-\frac{\pi^2}{6\ln{2}} }[/math]
이 된다. 이쯤되면 무섭다 (...)자꾸 원주율이 나온다. 역시 원주율은 신이 주신 선물... 그리고 연분수를 표현할 때 쓰는 숫자 하나를 집었을 때 그 숫자가 N일 확률은
[math]\displaystyle{ \frac{2\ln{(N+1)}-\ln{N}-\ln{(N+2)}}{\ln{2}} }[/math]
가 된다. 하지만 위하고는 달리 여기에서 T는 uniquely ergodic이 아니라서 예외가 몇몇 있는데, 그 예외가 바로 자연상수 e, tanh(1),tan(1),[math]\displaystyle{ \varphi }[/math]같은 애들. 매우 아름답고 규칙적이라고 생각했던 이 애들이 ergodic theory가 나타나니까 갑자기 규칙성을 깨는 이단으로 변해버렸다. (...)