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= [[벡터]] =
(이 문서 뭔가 이상한 것 같아 고치려 합니다. AC도 없이 순서쌍을 쓰면...)
'''벡터 공간'''(vector space)은 덧셈 연산과 스칼라곱(scalar multiplication)<ref>[[내적]]이 아니다.</ref>이 잘 정의되어 있으며 [[교환법칙]], [[결합법칙]], [[분배법칙]] 등이 성립하는 공간이다. 이 공간의 원소를 '''벡터'''(vector)라 하며, 직관적으로는 크기와 방향을 가진 대상이라 할 수 있다. 물론 [[노릅 (수학)|노름]]이 주어지지 않은 공간에서는 벡터의 크기를 정의할 수 없다. 벡터 공간에 [[내적]]이라는 벡터 사이 연산을 추가하여 [[내적 공간]](inner product space)을 만든다.
== 정의 ==
체 <math>F</math>에 대한 '''벡터 공간'''은 다음 조건을 만족하는 <math>(V, +, \mathrm{SM})</math>을 말한다. 이때 <math>V</math>의 원소를 '''벡터'''라 하고 <math>+:V\times V \ti V</math>를 덧셈, <math>\mathrm{SM}:F\times V \to V</math>을 스칼라곱이라 한다.
* <math>(V, +)</math>는 [[아벨 군]]이다. 즉, [[결합 법칙]]과 [[교환 법칙]]을 만족하며 [[항등원]]과 임의의 원소에 대한 [[역원]]이 존재한다.
* 임의의 <math>a,b\in F, v\in V</math>에 대하여 <math>a(bv)=(ab)v.</math>
* 체 <math>F</math>의 곱셈에 대한 항등원 1과 임의의 <math>v\in V</math>에 대하여 <math>1v = v.</math>
* [[분배 법칙]]: 임의의 <math>a, b\in F, u, v\in V</math>에 대하여 <math>(a+b)(u+v)=au+bu+av+bv.</math>
벡터 공간의 체가 [[실수|<math>\mathbb R</math>]]로 주어진 경우 '''실-벡터 공간'''(real vector space)이라 하고, [[복소수|<math>\mathbb C</math>]]로 주어진 경우 '''복소-벡터 공간'''(complex vector space)이라 한다.
주어진 벡터 공간 <math>V</math>의 [[부분집합]] <math>W</math>이 (<math>V</math>의) 덧셈과 스칼라곱에 대하여 닫혀 있으면 이를 <math>V</math>의 [[부분공간|(선형) 부분공간]](subspace)라 한다. 즉 부분공간은 벡터 공간을 이루는 부분집합이다.
== 기저와 차원 ==
벡터 공간 <math>V</math>의 부분집합 <math>S</math>에 대하여 [[생성 (선형대수학)|<math>\mathbf S</math>가 생성한 부분공간]] <math>\langle S \rangle</math> (또는 <math>\operatorname{span} S</math>)을 <math>S</math>를 포함하는 가장 작은 <math>V</math>의 부분공간으로 정의한다. 즉, <math>S\subseteq \langle S \rangle \le V</math><ref><math>\le</math>는 부분공간임을 나타낸다.</ref>이면서 <math>S\subseteq W \le V \implies \langle S \rangle \le W</math>일 때 <math>\langle S \rangle</math>를 <math>S</math>가 생성한 부분공간이라고 한다. 이는 <math>S</math>의 원소의 임의의 일차결합으로 이루어진 집합과 같다. 또한 이는 [[존재성과 유일성|유일하게 존재한다]].
만약 <math>V</math>를 생성하는 집합이 [[일차독립]](linear independent)이면, 이 집합을 <math>V</math>의 [[기저]](basis) <math>\mathfrak B</math>라고 한다. 벡터 공간의 기저가 유일하지는 않지만, (만약 존재한다면) 기저의 원소의 수는 항상 같다. 이를 벡터 공간의 [[차원]](dimension) <math>\operatorname{dim}V=|\mathfrak B| (\in \operatorname{Card})</math>이라고 한다. [[선택 공리]]를 가정하지 않으면 모든 벡터 공간에 대하여 차원을 정의할 수 없기 때문에 잘 정의되지 않는다. 즉, 차원이 잘 정의되려면 선택 공리를 가정해야 한다.<ref>선택 공리와 동치인 명제 중 "모든 벡터 공간은 기저를 가진다."가 있다.</ref>
선택 공리를 가정하면 차원이 주어졌을 때, 모든 벡터 공간을 분류할 수 있다. Linear extension theorem에 의하면 차원이 같은 두 벡터 공간에 대하여 둘 사이의 isomorphism이 존재한다. 즉, 모든 <math>F</math>-벡터 공간 <math>V</math>은 <math>\oplus_{i=1}^{\operatorname{dim}V} F</math>와 같다. 즉 체 <math>F</math>를 그 차원만큼 [[직합]](direct sum)하면 그 벡터 공간과 똑같은 벡터 공간이 나온다. 이제 차원으로써 벡터 공간을 분류할 수 있음을 안다.
== 선형 사상 ==
체 <math>F</math>와 <math>F</math>-벡터 공간 <math>V, W</math>에 대하여, 합과 스칼라곱을 보존하는 사상 <math>L:V\to W</math>을 [[선형 사상]](선형 변환, linear map)이라 한다. 선형 사상들의 집합 <math>\mathfrak{L}(V, W)</math>은 벡터 공간을 이룬다.만약 <math>V, W</math>가 유한 차원 벡터 공간이며 기저가 주어져 있으면 선형 변환을 [[행렬]]로써 나타낼 수 있다. [[선형대수학의 기본 정리]]에 의하여 선형 변환은 행렬과 완전히 같기 때문이다.
== 예시 ==
{{각주}}


= 결합기하학 =
= 결합기하학 =
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<math>\mathscr P</math>, <math>\mathscr L</math>(<math>\mathscr P \cap \mathscr L = \emptyset</math>) 와 <math>\mathscr I\subseteq \mathscr P \times \mathscr L</math>가 [[집합]]일 때, <math>\sigma = (\mathscr P, \mathscr L, \mathscr I)</math>을 '''결합구조'''(incidence structure), 또는 '''기하학적 구조'''(geometric structure)라 한다. 만약 <math>\mathscr P</math>와 <math>\mathscr L</math>이 [[유한]]이면, <math>\sigma</math>를 '''유한결합구조'''라 한다. 여기서 <math>\mathscr P</math>는 [[점]]들의 집합이고, <math>\mathscr L</math>은 [[선]]<ref>흔히 생각하는 직선일 필요는 없다. 아래의 [[아핀 평면#예시]] 참조.</ref>들의 집합이다. <math>\mathscr P</math>와 <math>\mathscr L</math>의 [[교집합]]이 [[공집합|공]]이라는 것은, 점과 선을 같은 것으로 보지 않겠다는 말이다.
<math>\mathscr P</math>, <math>\mathscr L</math>(<math>\mathscr P \cap \mathscr L = \emptyset</math>) 와 <math>\mathscr I\subseteq \mathscr P \times \mathscr L</math>가 [[집합]]일 때, <math>\sigma = (\mathscr P, \mathscr L, \mathscr I)</math>을 '''결합구조'''(incidence structure), 또는 '''기하학적 구조'''(geometric structure)라 한다. 만약 <math>\mathscr P</math>와 <math>\mathscr L</math>이 [[유한]]이면, <math>\sigma</math>를 '''유한결합구조'''라 한다. 여기서 <math>\mathscr P</math>는 [[점]]들의 집합이고, <math>\mathscr L</math>은 [[선]]<ref>흔히 생각하는 직선일 필요는 없다. 아래의 [[아핀 평면#예시]] 참조.</ref>들의 집합이다. <math>\mathscr P</math>와 <math>\mathscr L</math>의 [[교집합]]이 [[공집합|공]]이라는 것은, 점과 선을 같은 것으로 보지 않겠다는 말이다.


주어진 점 <math>p, q\in\mathscr P</math>에 대하여, <math>\exists L \in \mathscr L \text{ s.t. } (p,L),(q,L)\in \mathscr I</math>이면 '''<math>p</math>와 <math>q</math>는 jointed'''라 하고, 만약 위를 만족하는 선 <math>L</math>이 단 하나 존재하면 '''<math>L</math>은 <math>p</math>와 <math>q</math>에 의하여 결정된다'''고 한다(선 <math>L</math>을 <math>p</math>와 <math>q</math>의 '''join'''이라 하고 <math>pq:=L</math>로 쓴다.) 비슷하게, given <math>L, M\in \mathscr L</math>, if <math>\exists p \in \mathscr P \text{ s.t. } (p,L),(p,M)\in \mathscr I</math>, we say '''<math>L</math> and <math>M</math> meet''', and we say '''<math>p</math> is decided by <math>L</math> and <math>M</math>''' if there is only one point <math>p</math>(we call it the '''intersection''' <math>p:=L\cap M</math>.) And also denote <math>[p(\in\mathscr P)\in L (\in \mathscr L)] := [(p, L) \in \mathscr I]</math> and omit <math>\mathscr I</math>.
주어진 점 <math>p, q\in\mathscr P</math>에 대하여, <math>\exists L \in \mathscr L \text{ s.t. } (p,L),(q,L)\in \mathscr I</math>이면 '''<math>p</math>와 <math>q</math>는 jointed'''라 하고, 만약 위를 만족하는 선 <math>L</math>이 단 하나 존재하면 '''<math>L</math>은 <math>p</math>와 <math>q</math>에 의하여 결정된다'''고 한다(선 <math>L</math>을 <math>p</math>와 <math>q</math>의 '''join'''이라 하고 <math>pq:=L</math>로 쓴다.) 비슷하게, 주어진 <math>L, M\in \mathscr L</math>에 대하여 <math>\exists p \in \mathscr P \text{ s.t. } (p,L),(p,M)\in \mathscr I</math>이면, '''<math>L</math>과 <math>M</math>이 만난다'''고 하며, 그러한 <math>p</math>가 유일하면 '''<math>p</math>는 <math>L</math>과 <math>M</math>에 의하여 결정된다'''고 한다(점 <math>p:=L\cap M</math>을 <math>L</math>과 <math>M</math>의 '''교점'''이라고 한다.) 또한 <math>[p(\in\mathscr P)\in L (\in \mathscr L)] \overset{def}{\Leftrightarrow}  [(p, L) \in \mathscr I]</math>로 쓰거나 간단히 <math>\mathscr I</math>를 생략하기도 한다.


== 평면 ==
== 평면 ==
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=== 사영 평면 ===
=== 사영 평면 ===
= 뉴턴의 운동 법칙 =
'''뉴턴의 운동 법칙'''(Newton's laws of motion)은 [[아이작 뉴턴]]에 의해 정립된 세 가지 [[물리]] 법칙이다.
== 역사 ==
== 제1 법칙: 관성의 법칙 ==
{{인용문2|외력이 없을 때 어떤 물체의 질량중심은 일정한 [[속도]] (또는 [[운동량]])을 가지고 운동한다.}}
관성의 법칙을 만족하는 기준틀(좌표계)를 '''관성기준틀'''(관성좌표계, 관성계)라 부르고, 즉 이는 등속도 운동을 하는 기준틀을 말한다.
== 제2 법칙: 가속도의 법칙 ==
== 제3 법칙: 작용-반작용의 법칙 ==

2016년 1월 18일 (월) 13:34 판

결합기하학

결합기하학(incidence geometry)은 결합구조를 연구하는 학문이다. 해석기하학과 달리 점, 선, 그리고 그 결합만을 생각한다.

결합구조

[math]\displaystyle{ \mathscr P }[/math], [math]\displaystyle{ \mathscr L }[/math]([math]\displaystyle{ \mathscr P \cap \mathscr L = \emptyset }[/math]) 와 [math]\displaystyle{ \mathscr I\subseteq \mathscr P \times \mathscr L }[/math]가 집합일 때, [math]\displaystyle{ \sigma = (\mathscr P, \mathscr L, \mathscr I) }[/math]을 결합구조(incidence structure), 또는 기하학적 구조(geometric structure)라 한다. 만약 [math]\displaystyle{ \mathscr P }[/math]와 [math]\displaystyle{ \mathscr L }[/math]이 유한이면, [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]를 유한결합구조라 한다. 여기서 [math]\displaystyle{ \mathscr P }[/math]는 점들의 집합이고, [math]\displaystyle{ \mathscr L }[/math]은 선[1]들의 집합이다. [math]\displaystyle{ \mathscr P }[/math]와 [math]\displaystyle{ \mathscr L }[/math]의 교집합이 공이라는 것은, 점과 선을 같은 것으로 보지 않겠다는 말이다.

주어진 점 [math]\displaystyle{ p, q\in\mathscr P }[/math]에 대하여, [math]\displaystyle{ \exists L \in \mathscr L \text{ s.t. } (p,L),(q,L)\in \mathscr I }[/math]이면 [math]\displaystyle{ p }[/math]와 [math]\displaystyle{ q }[/math]는 jointed라 하고, 만약 위를 만족하는 선 [math]\displaystyle{ L }[/math]이 단 하나 존재하면 [math]\displaystyle{ L }[/math]은 [math]\displaystyle{ p }[/math]와 [math]\displaystyle{ q }[/math]에 의하여 결정된다고 한다(선 [math]\displaystyle{ L }[/math]을 [math]\displaystyle{ p }[/math]와 [math]\displaystyle{ q }[/math]의 join이라 하고 [math]\displaystyle{ pq:=L }[/math]로 쓴다.) 비슷하게, 주어진 [math]\displaystyle{ L, M\in \mathscr L }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ \exists p \in \mathscr P \text{ s.t. } (p,L),(p,M)\in \mathscr I }[/math]이면, [math]\displaystyle{ L }[/math]과 [math]\displaystyle{ M }[/math]이 만난다고 하며, 그러한 [math]\displaystyle{ p }[/math]가 유일하면 [math]\displaystyle{ p }[/math]는 [math]\displaystyle{ L }[/math]과 [math]\displaystyle{ M }[/math]에 의하여 결정된다고 한다(점 [math]\displaystyle{ p:=L\cap M }[/math]을 [math]\displaystyle{ L }[/math]과 [math]\displaystyle{ M }[/math]의 교점이라고 한다.) 또한 [math]\displaystyle{ [p(\in\mathscr P)\in L (\in \mathscr L)] \overset{def}{\Leftrightarrow} [(p, L) \in \mathscr I] }[/math]로 쓰거나 간단히 [math]\displaystyle{ \mathscr I }[/math]를 생략하기도 한다.

평면

We shall call incidence structures [math]\displaystyle{ \pi=(\mathscr P , \mathscr I) }[/math] satisfying following axioms planes:

  • [math]\displaystyle{ \forall p, q \in\mathscr P \exists ! L \in \mathscr L \text{ s.t. }p, q\in L, }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \forall L\in\mathscr L \exists p, q\in\mathscr P (p \ne q) \text{ s.t. } p, q \in L. }[/math]

아핀 평면

We call incidence structures satisfying following axioms affine planes:

  • [math]\displaystyle{ \exists L \in \mathscr L, }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \forall L \in \mathscr L \exists p, q\in \mathscr P (p \ne q) \text{ s.t. }p,q\in L, }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \forall L \in \mathscr L \exists r\in\mathscr P \text{ s.t. }r \notin L, }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \forall p,q \in \mathscr P (p\ne q)\exists ! L=pq\in \mathscr L, }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \forall L \in \mathscr L \forall p (\notin L) \in \mathscr P \exists ! M \in \mathscr L \text{ s.t. } p \in M \wedge L \| M. }[/math] ([math]\displaystyle{ L \| M }[/math] means [math]\displaystyle{ \not \exists L \cap M }[/math].)

And every affine plane is a plane.

실-아핀 평면

We call incidence structures [math]\displaystyle{ \alpha_\mathbb R }[/math] satisfying following axioms real affine planes:

  • [math]\displaystyle{ \mathscr P \subseteq \mathbb R^2, }[/math]
  • [math]\displaystyle{ L(\in \mathscr L) = \{(x,y)|ax+by+c=0 \wedge a, b, c\in\mathbb R \wedge \neg(a=0\wedge b=0) \}, }[/math]
  • [math]\displaystyle{ (x_0 , y_0) \in \{ (x,y)|ax+by+c = 0\} \Longleftrightarrow ax_0 + by_0 + c = 0. }[/math]

And every real affine plane is an affine plane.

사영 평면

  1. ↑ 흔히 생각하는 직선일 필요는 없다. 아래의 아핀 평면#예시 참조.