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[[환 (수학)|환]] ''R''의 | [[환 (수학)|환]] ''R''의 부분환 ''I''에 대하여,<ref>환이 꼭 1을 갖지 않아도 되고, 따라서 부분환도 꼭 1을 갖지 않아도 되는 경우를 전제한다. 1을 갖는 것만을 환이라 하는 경우, 아이디얼과 부분환은 별개의 개념이 된다. 자세한 내용은 [[환 (수학)|환]] 참조.</ref> | ||
* 임의의 <math>r\in R, i\in I</math>에 대해 <math>ri\in I</math>를 만족하면 ''I''를 ''R''의 '''좌아이디얼(left ideal)'''이라고 한다. | |||
* 임의의 <math>r\in R, i\in I</math>에 대해 <math>ir\in I</math>를 만족하면 ''I''를 ''R''의 '''우아이디얼(right ideal)'''이라고 한다. | |||
* ''I''가 ''R''의 좌아이디얼이면서 우아이디얼이면, ''I''를 ''R''의 '''양쪽아이디얼(two-sided ideal)''' 또는 그냥 '''아이디얼(ideal)'''이라 하고, <math>I \trianglelefteq R</math>로 표기한다. | |||
만약 ''R''이 가환환이라면, [[교환법칙]]이 성립하므로 위 세 정의가 동치가 됨을 알 수 있다. 즉, 예를 들어 좌아이디얼인지만 확인하면 자동으로 아이디얼이 된다. | |||
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* <math>0 \trianglelefteq R</math>, <math>R \trianglelefteq R</math> | |||
** ''R''이 나눗셈환이면 아이디얼은 이들 둘밖에 없다. 영이 아닌 아이디얼은 1<sub>''R''</sub>을 포함하게 되기 때문이다. | |||
* ''f'':''R'' → ''S''가 환 준동형사상(ring homomorphism)일 때, <math>\operatorname{ker} f \trianglelefteq R</math> | |||
* ''M''이 ''R''가군(''R''‐module)일 때, ''M''의 부분집합 ''N''에 대하여 <math>\operatorname{ann} ( N ) = \{ r \in R \vert rN = 0 \}</math>는 ''R''의 아이디얼이 되고, 이를 annihilator ideal이라 한다. | |||
** ''K''선형사상 ''T''가 주어진 ''K''벡터공간 ''V''를 ''K''[''t'']가군으로 볼 때, <math>\operatorname{ann} ( V )</math>의 생성자가 바로 ''T''의 최소다항식(minimal polynomial)이다. | |||
* 정수환 <math>\mathbb{Z}</math>의 아이디얼은 <math>n \mathbb{Z}</math> 꼴밖에 없다. 따라서 <math>\mathbb{Z}</math>는 주아이디얼 정역(principle ideal domain)이다. | |||
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[[실수]]를 성분으로 갖는 모든 2차 정사각행렬의 [[집합 (수학)|집합]] <math>M_2(\mathbb{R})</math>은 [[행렬]] [[연산]] | |||
* [[실수]]를 성분으로 갖는 모든 2차 정사각행렬의 [[집합 (수학)|집합]] <math>M_2(\mathbb{R})</math>은 [[행렬]] [[연산]] 에 관해 환(행렬환)을 이룬다. 집합 ''I''를 다음과 같이 정의하자. | |||
: <math>I=\left\{\begin{bmatrix}a & 0 \\ b & 0 \end{bmatrix}:a,b\in\mathbb{R} \right\}</math> | : <math>I=\left\{\begin{bmatrix}a & 0 \\ b & 0 \end{bmatrix}:a,b\in\mathbb{R} \right\}</math> | ||
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아이디얼의 성질은 아래와 같다. | |||
* ''I''와 ''J''가 환 ''R''의 (좌, 우, 양쪽)아이디얼이면, <math>I \cap J</math>도 ''R''의 (좌, 우, 양쪽)아이디얼이다(정의에 의해 자명하다).<ref>이번에는 아이디얼의 아이디얼과 같은 이야기는 하지 않는 듯하다…….</ref> | |||
* ''I''가 환 ''R''의 좌아이디얼이라는 것과, 좌''R''가군 ''R''의 좌''R''부분가군이라는 것은 동치이다(이것도 정의에 의해 자명하다). 오른쪽도 마찬가지이다. | |||
아이디얼 사이에 다음과 같이 연산을 정의한다. | |||
* ''I''와 ''J''가 환 ''R''의 아이디얼이면, 집합 <math>S=\{i+j\vert i\in I,j\in J\}</math>도 ''R''의 아이디얼이다. 이때 ''K''를 ''I''와 ''J''의 합이라고 부르고 ''I''+''J''로 나타낸다. | * ''I''와 ''J''가 환 ''R''의 아이디얼이면, 집합 <math>S=\{i+j\vert i\in I,j\in J\}</math>도 ''R''의 아이디얼이다. 이때 ''K''를 ''I''와 ''J''의 합이라고 부르고 ''I''+''J''로 나타낸다. | ||
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: <math>P'=\{ij\vert i\in I, j\in J\}</math> | : <math>P'=\{ij\vert i\in I, j\in J\}</math> | ||
는 일반적으로 ''R''의 아이디얼이 아니다. 예를 들어, <math>R=\mathbb{Q}</math>이고 <math>I=J=\mathbb{Z}</math>로 두면 <math>\frac{1}{3}\cdot 1 \cdot 2=\frac{2}{3}\not\in P'</math>이다.</ref> | 는 일반적으로 ''R''의 아이디얼이 아니다. 예를 들어, <math>R=\mathbb{Q}</math>이고 <math>I=J=\mathbb{Z}</math>로 두면 <math>\frac{1}{3}\cdot 1 \cdot 2=\frac{2}{3}\not\in P'</math>이다.</ref> | ||
== ''X''⊆''R''이 생성하는 아이디얼 == | |||
''X''⊆''R''일 때, ''X''를 포함하는 ''R''의 최소의(smallest) (좌, 우, 양쪽)아이디얼을 '''''X''가 생성하는 (좌, 우, 양쪽)아이디얼'''이라고 한다. 이러한 (좌, 우, 양쪽)아이디얼 ''I''의 존재성과 유일성은 <math>I = \bigcap_{X \subseteq J \trianglelefteq R} J</math>를 증명하면 보일 수 있다(⊴는 본래 양쪽아이디얼만을 뜻하는 것이지만 좀 남용했다. 이해해 주기 바란다). 증명은 (좌, 우, 양쪽)아이디얼의 교집합이 다시 (좌, 우, 양쪽)아이디얼인 것만 보이면 충분한데, 앞에서 이미 보였다. 이때 ''X''를 이 아이디얼 ''I''의 '''생성자(generator)'''라고 한다. | |||
아래에서는 ''R''은 [[항등원]]을 갖는 가환환이라고 가정하자. | |||
한 개의 원소가 생성하는 아이디얼은 '''[[주아이디얼|주아이디얼(principal ideal)]]'''이라고 한다. 이때 <math>c\in R</math>이 생성하는 주아이디얼은 <math>(c)</math>로 표기한다. 이는 아래와 같은 집합이 됨을 쉽게 알 수 있다. | |||
: <math>(c)=\{rc\vert r\in R\}</math> | |||
유한 개의 원소가 생성하는 아이디얼은 '''유한생성아이디얼(finitely generated ideal)'''이라고 한다. 이때 <math>c_1,c_2,\cdots,c_n\in R</math>이 생성하는 아이디얼 <math>(c_1,c_2,\cdots,c_n)</math>는 아래와 같은 집합이 된다. | |||
: <math>(c_1,c_2,\cdots,c_n)=\{r_1c_1+r_2c_2+\cdots+r_nc_n\vert r_1,r_2,\cdots, r_n\in R\}</math> | |||
== 여러 가지 아이디얼 == | == 여러 가지 아이디얼 == | ||
<!-- 추가바람 --> | <!-- 추가바람 --> | ||
* [[소아이디얼]] | * [[소아이디얼|소아이디얼(prime ideal)]] | ||
* [[극대아이디얼]] | * [[극대아이디얼|극대아이디얼(maximal ideal)]] | ||
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2015년 6월 8일 (월) 15:44 판
정의
- 임의의 [math]\displaystyle{ r\in R, i\in I }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ ri\in I }[/math]를 만족하면 I를 R의 좌아이디얼(left ideal)이라고 한다.
- 임의의 [math]\displaystyle{ r\in R, i\in I }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ ir\in I }[/math]를 만족하면 I를 R의 우아이디얼(right ideal)이라고 한다.
- I가 R의 좌아이디얼이면서 우아이디얼이면, I를 R의 양쪽아이디얼(two-sided ideal) 또는 그냥 아이디얼(ideal)이라 하고, [math]\displaystyle{ I \trianglelefteq R }[/math]로 표기한다.
만약 R이 가환환이라면, 교환법칙이 성립하므로 위 세 정의가 동치가 됨을 알 수 있다. 즉, 예를 들어 좌아이디얼인지만 확인하면 자동으로 아이디얼이 된다.
예시
- [math]\displaystyle{ 0 \trianglelefteq R }[/math], [math]\displaystyle{ R \trianglelefteq R }[/math]
- R이 나눗셈환이면 아이디얼은 이들 둘밖에 없다. 영이 아닌 아이디얼은 1R을 포함하게 되기 때문이다.
- f:R → S가 환 준동형사상(ring homomorphism)일 때, [math]\displaystyle{ \operatorname{ker} f \trianglelefteq R }[/math]
- M이 R가군(R‐module)일 때, M의 부분집합 N에 대하여 [math]\displaystyle{ \operatorname{ann} ( N ) = \{ r \in R \vert rN = 0 \} }[/math]는 R의 아이디얼이 되고, 이를 annihilator ideal이라 한다.
- K선형사상 T가 주어진 K벡터공간 V를 K[t]가군으로 볼 때, [math]\displaystyle{ \operatorname{ann} ( V ) }[/math]의 생성자가 바로 T의 최소다항식(minimal polynomial)이다.
- 정수환 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]의 아이디얼은 [math]\displaystyle{ n \mathbb{Z} }[/math] 꼴밖에 없다. 따라서 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]는 주아이디얼 정역(principle ideal domain)이다.
- 실수를 성분으로 갖는 모든 2차 정사각행렬의 집합 [math]\displaystyle{ M_2(\mathbb{R}) }[/math]은 행렬 연산 에 관해 환(행렬환)을 이룬다. 집합 I를 다음과 같이 정의하자.
- [math]\displaystyle{ I=\left\{\begin{bmatrix}a & 0 \\ b & 0 \end{bmatrix}:a,b\in\mathbb{R} \right\} }[/math]
그러면 I는 [math]\displaystyle{ M_2(\mathbb{R}) }[/math]의 부분환이다. 이때 임의의 [math]\displaystyle{ x,y,z,w\in\mathbb{R} }[/math]에 대해
- [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix}x & y\\ z& w\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & 0\\b&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}xa+yb & 0 \\ za+wb & 0\end{bmatrix}\in I }[/math]
이므로 I는 [math]\displaystyle{ M_2(\mathbb{R}) }[/math]의 좌아이디얼이다. 그러나
- [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix}1 & 0\\ 2& 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3 & 4\\5&6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3 & 4 \\ 6 & 8\end{bmatrix}\not\in I }[/math]
이므로 I는 [math]\displaystyle{ M_2(\mathbb{R}) }[/math]의 우아이디얼이 아니다. 따라서 I는 [math]\displaystyle{ M_2(\mathbb{R}) }[/math]의 아이디얼이 아니다.
성질 및 연산
아이디얼의 성질은 아래와 같다.
- I와 J가 환 R의 (좌, 우, 양쪽)아이디얼이면, [math]\displaystyle{ I \cap J }[/math]도 R의 (좌, 우, 양쪽)아이디얼이다(정의에 의해 자명하다).[2]
- I가 환 R의 좌아이디얼이라는 것과, 좌R가군 R의 좌R부분가군이라는 것은 동치이다(이것도 정의에 의해 자명하다). 오른쪽도 마찬가지이다.
아이디얼 사이에 다음과 같이 연산을 정의한다.
- I와 J가 환 R의 아이디얼이면, 집합 [math]\displaystyle{ S=\{i+j\vert i\in I,j\in J\} }[/math]도 R의 아이디얼이다. 이때 K를 I와 J의 합이라고 부르고 I+J로 나타낸다.
- I와 J가 환 R의 아이디얼이면, 집합
- [math]\displaystyle{ P=\{i_1j_1+i_2j_2+\cdots+i_nj_n\vert n\ge 1, i_k\in I, j_k\in J\} }[/math]
- 는 R의 아이디얼이다. 이때 P를 I와 J의 곱이라고 부르고 IJ로 나타낸다.[3]
X⊆R이 생성하는 아이디얼
X⊆R일 때, X를 포함하는 R의 최소의(smallest) (좌, 우, 양쪽)아이디얼을 X가 생성하는 (좌, 우, 양쪽)아이디얼이라고 한다. 이러한 (좌, 우, 양쪽)아이디얼 I의 존재성과 유일성은 [math]\displaystyle{ I = \bigcap_{X \subseteq J \trianglelefteq R} J }[/math]를 증명하면 보일 수 있다(⊴는 본래 양쪽아이디얼만을 뜻하는 것이지만 좀 남용했다. 이해해 주기 바란다). 증명은 (좌, 우, 양쪽)아이디얼의 교집합이 다시 (좌, 우, 양쪽)아이디얼인 것만 보이면 충분한데, 앞에서 이미 보였다. 이때 X를 이 아이디얼 I의 생성자(generator)라고 한다.
아래에서는 R은 항등원을 갖는 가환환이라고 가정하자.
한 개의 원소가 생성하는 아이디얼은 주아이디얼(principal ideal)이라고 한다. 이때 [math]\displaystyle{ c\in R }[/math]이 생성하는 주아이디얼은 [math]\displaystyle{ (c) }[/math]로 표기한다. 이는 아래와 같은 집합이 됨을 쉽게 알 수 있다.
- [math]\displaystyle{ (c)=\{rc\vert r\in R\} }[/math]
유한 개의 원소가 생성하는 아이디얼은 유한생성아이디얼(finitely generated ideal)이라고 한다. 이때 [math]\displaystyle{ c_1,c_2,\cdots,c_n\in R }[/math]이 생성하는 아이디얼 [math]\displaystyle{ (c_1,c_2,\cdots,c_n) }[/math]는 아래와 같은 집합이 된다.
- [math]\displaystyle{ (c_1,c_2,\cdots,c_n)=\{r_1c_1+r_2c_2+\cdots+r_nc_n\vert r_1,r_2,\cdots, r_n\in R\} }[/math]
여러 가지 아이디얼
같이 보기
참고문헌
- Thomas W. Hungerford (2012). Abstract Algebra: An Introduction. (3rd ed). Cengage Learning. ISBN 1111573336
각주
- ↑ 환이 꼭 1을 갖지 않아도 되고, 따라서 부분환도 꼭 1을 갖지 않아도 되는 경우를 전제한다. 1을 갖는 것만을 환이라 하는 경우, 아이디얼과 부분환은 별개의 개념이 된다. 자세한 내용은 환 참조.
- ↑ 이번에는 아이디얼의 아이디얼과 같은 이야기는 하지 않는 듯하다…….
- ↑ I,J가 아이디얼이 아니면, 집합
- [math]\displaystyle{ P'=\{ij\vert i\in I, j\in J\} }[/math]