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이면 '''정역(integral domain)'''이라고 한다. 즉, 정역은 항등원이 존재하고 [[영인자]]가 없는 가환환이다. | 이면 '''정역(integral domain)'''이라고 한다. 즉, 정역은 항등원이 존재하고 [[영인자]]가 없는 가환환이다. | ||
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* 임의의 [[체 (수학)|체]] | * 임의의 [[체 (수학)|체]]<ref>영인자는 단위원이 될 수 없기 때문이다. 혹은 나눗셈이 가능하면 소거법칙은 당연히 성립하기 때문이다.</ref> | ||
== 성질 == | == 성질 == | ||
* 정역 | * (소거법칙) 정역 <math>R</math>의 원소 <math>a,\;b,\;c</math>에 대해 <math>a\ne 0_R</math>이고 <math>ab=ac</math>이면 <math>b=c</math>이다. | ||
* 유한집합인 정역은 체이다. | * 정역의 [항등원이 있는 부분환]은 정역이다. 따라서 체의 [항등원이 있는 부분환]도 정역이다. | ||
** 증명) 거의 자명한데, 정역 ''R''의 부분환 ''S''가 항등원 1<sub>''S''</sub>를 가지면 항상 1<sub>''R''</sub>=1<sub>''S''</sub>인지는 꼭 한 번 확인해야 한다. 물론 이는 위 소거법칙의 결과이다. 즉, ''S''의 등식 1<sub>''S''</sub>1<sub>''S''</sub>=1<sub>''S''</sub>와 ''R''의 등식 1<sub>''S''</sub>=1<sub>''S''</sub>1<sub>''R''</sub>을 붙여 놓고 양변에서 1<sub>''S''</sub>를 소거하면 된다. | |||
** 한편 체의 [항등원이 있는 부분환]이 항상 체인 것은 아니다. 체의 [항등원이 있는 부분환]으로서 체에서 물려받은 연산에 관하여 다시 체가 되는 것은 부분체(subfield)라고 한다. | |||
* 유한집합인 정역은 [[체 (수학)|체]]이다. 또, 유한차원 ''K''벡터공간인 정역도 체이다.<ref>물론 ''K''상수곱은 정역 자체의 곱셈과 compatible해야 한다.</ref> | |||
** 증명) | |||
**: 위 조건을 만족하는 정역 <math>R</math>의 임의의 원소 <math>a\in R</math>에 대해, 곱셈에 대한 역원 <math>a^{-1}</math>이 <math>R</math>에 존재함을 보이면 된다. | |||
**: 이제 <math>a</math>를 왼쪽에 곱하는 함수 <math>\lambda_a : R \to R,\; x \mapsto ax</math>를 생각하면, 이 함수는 위 소거법칙 때문에 단사함수이다. | |||
**: 그리고 위 단사함수는 곧 전단사함수가 되는데, 유한집합인 경우에는 유한집합이라 그렇고, 유한차원 ''K''벡터공간인 경우에는 위 단사함수는 ''K''단사사상인데 유한차원 벡터공간이라 그렇다. | |||
**: 따라서 <math>1 = ab = ba</math>인 <math>b\in R</math>이 존재한다. | |||
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2018년 12월 17일 (월) 18:09 기준 최신판
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가환환 [math]\displaystyle{ R }[/math]에 대해 항등원 [math]\displaystyle{ 1_R\ne 0_R }[/math]이 존재하고 임의의 두 원소 [math]\displaystyle{ a,b }[/math]에 대해
- [math]\displaystyle{ ab=0 \Rightarrow a=0_R \text{ or }b=0_R }[/math]
이면 정역(integral domain)이라고 한다. 즉, 정역은 항등원이 존재하고 영인자가 없는 가환환이다.
예시[편집 | 원본 편집]
- [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]
- [math]\displaystyle{ p }[/math]가 소수일 때, [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p }[/math]
- [math]\displaystyle{ D }[/math]가 정역일 때, 다항식환 [math]\displaystyle{ D[x] }[/math]
- 임의의 체[1]
성질[편집 | 원본 편집]
- (소거법칙) 정역 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 원소 [math]\displaystyle{ a,\;b,\;c }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a\ne 0_R }[/math]이고 [math]\displaystyle{ ab=ac }[/math]이면 [math]\displaystyle{ b=c }[/math]이다.
- 정역의 [항등원이 있는 부분환]은 정역이다. 따라서 체의 [항등원이 있는 부분환]도 정역이다.
- 증명) 거의 자명한데, 정역 R의 부분환 S가 항등원 1S를 가지면 항상 1R=1S인지는 꼭 한 번 확인해야 한다. 물론 이는 위 소거법칙의 결과이다. 즉, S의 등식 1S1S=1S와 R의 등식 1S=1S1R을 붙여 놓고 양변에서 1S를 소거하면 된다.
- 한편 체의 [항등원이 있는 부분환]이 항상 체인 것은 아니다. 체의 [항등원이 있는 부분환]으로서 체에서 물려받은 연산에 관하여 다시 체가 되는 것은 부분체(subfield)라고 한다.
- 유한집합인 정역은 체이다. 또, 유한차원 K벡터공간인 정역도 체이다.[2]
- 증명)
- 위 조건을 만족하는 정역 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 임의의 원소 [math]\displaystyle{ a\in R }[/math]에 대해, 곱셈에 대한 역원 [math]\displaystyle{ a^{-1} }[/math]이 [math]\displaystyle{ R }[/math]에 존재함을 보이면 된다.
- 이제 [math]\displaystyle{ a }[/math]를 왼쪽에 곱하는 함수 [math]\displaystyle{ \lambda_a : R \to R,\; x \mapsto ax }[/math]를 생각하면, 이 함수는 위 소거법칙 때문에 단사함수이다.
- 그리고 위 단사함수는 곧 전단사함수가 되는데, 유한집합인 경우에는 유한집합이라 그렇고, 유한차원 K벡터공간인 경우에는 위 단사함수는 K단사사상인데 유한차원 벡터공간이라 그렇다.
- 따라서 [math]\displaystyle{ 1 = ab = ba }[/math]인 [math]\displaystyle{ b\in R }[/math]이 존재한다.
- 증명)