평균값 정리

틀:학술 관련 정보 틀:토막글 평균값 정리(Mean value theorem, MVT)는 미분가능한 함수의 그래프의 두 점을 이었을 때, 두 점 사이의 다른 점이 존재하여 그 점에서 접선의 기울기가 두 점을 이은 직선의 기울기와 같다는 명제다.

진술

실수 [math]\displaystyle{ a,b\;(a\lt b) }[/math]에 대해, 함수 [math]\displaystyle{ f:[a,b]\to\mathbb{R} }[/math]가 닫힌 구간 [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]에서 연속이고 열린 구간 [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math]에서 미분가능하면,

[math]\displaystyle{ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) }[/math]

인 [math]\displaystyle{ c\in(a,b) }[/math]가 존재한다.

증명

[math]\displaystyle{ g(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) }[/math] 라고 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ g(a) = 0, g(b) = 0 }[/math]이라서 롤의 정리를 적용해 [math]\displaystyle{ g'(c) = 0 = f'(c) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} }[/math]인 [math]\displaystyle{ c }[/math]를 찾을 수 있다. 그러면 [math]\displaystyle{ f'(c)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a} }[/math]. 롤의 정리가 캐리해서 짧아진 증명

코시의 평균값 정리

실수 [math]\displaystyle{ a,b\;(a\lt b) }[/math]에 대해, 함수 [math]\displaystyle{ f,g:[a,b]\to\mathbb{R} }[/math]가 닫힌 구간 [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]에서 연속이고 열린 구간 [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math]에서 미분가능하면,

[math]\displaystyle{ (f(b)-f(a)):(g(b)-g(a))=f'(c):g'(c) }[/math]

인 점 [math]\displaystyle{ c\in (a,b) }[/math]가 존재한다.

증명. 함수 [math]\displaystyle{ h:[a,b]\to\mathbb{R} }[/math]을 다음과 같이 정의하자.

[math]\displaystyle{ h(x)=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}g(x) }[/math]

그러면 h는 닫힌 구간 [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]에서 연속이고 열린 구간 [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math]에서 미분가능하며,

[math]\displaystyle{ h(b)-h(a)=0 }[/math]

이다. 따라서 롤의 정리에 의해 [math]\displaystyle{ h'(c)=0 }[/math]인 [math]\displaystyle{ c\in (a,b) }[/math]가 존재한다. 그러면

[math]\displaystyle{ \frac{g(b)-g(a)}{f(b)-f(a)}=\frac{g'(c)}{f'(c)} }[/math]

이므로 원하는 결론을 얻는다.