롤의 정리

롤의 정리(Rolle's Theorem)는 닫힌 구간에서 정의된 어떤 미분가능한 함수에 대해 양 끝 점에서의 함숫값이 같으면, 구간 사이에 어떤 점이 존재하여 그 점에서 접선의 기울기가 0과 같다는 수학 정리다.

진술

실수 [math]\displaystyle{ a,b\;(a\lt b) }[/math]에 대해, 함수 [math]\displaystyle{ f:[a,b]\to\mathbb{R} }[/math]가 닫힌 구간 [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]에서 연속이고 열린 구간 [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math]에서 미분가능하며 [math]\displaystyle{ f(a)=f(b) }[/math]라고 하자. 그러면

[math]\displaystyle{ f'(c)=0 }[/math]

인 [math]\displaystyle{ c\in(a,b) }[/math]가 적어도 하나 존재한다.

증명

최대·최소의 정리(Extreme Value Theorem)로 고등학생도 증명할 수 있다.그런데 고등학생은 최대·최소 정리를 증명 못하잖아 자세한 증명 내용은 다음과 같다.

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만약 [math]\displaystyle{ f\left(x\right) }[/math]가 구간 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]내에서 상수함수라 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ \forall c\in\left(a,b\right),\,f'\left(c\right)=0 }[/math]이므로 정리가 성립한다. 이제 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 상수함수가 아니라고 가정하자. 그럼 최대·최소의 정리에 의해 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 구간 내에서 최댓값을 가진다. [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ c }[/math]에서 최댓값을 가진다 가정하면, [math]\displaystyle{ f\left(c+h\right)-f\left(c\right)\leq0 }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ \lim_{h\to0^+}\frac{f\left(c+h\right)-f\left(c\right)}{h}\leq0,\,\lim_{h\to0^-}\frac{f\left(c+h\right)-f\left(c\right)}{h}\geq0 }[/math]이다. 한편, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ x=c }[/math]에서 미분가능하므로, [math]\displaystyle{ \lim_{h\to0}\frac{f\left(c+h\right)-f\left(c\right)}{h}=0 }[/math]이고, 이는 곧 [math]\displaystyle{ f'\left(c\right)=0 }[/math] 임을 의미한다.

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활용

이 정리를 일반화 시키면 평균값 정리가 되지만, 평균값 정리의 증명에는 롤의 정리가 필요하다. 참고로 평균값의 정리를 좀 더 일반화 시키면 코시의 평균값 정리가 된다. 또한 롤의 정리는 특수한 경우의 로피탈의 정리를 증명하는 데 쓰인다.