정역 편집하기



{{다른 뜻|정의역}}
== 정의 ==
[[가환환]] \(R\)에 대해 [[항등원]] <math>1_R\ne 0_R</math>이 존재하고 임의의 두 원소 \(a,b\)에 대해
: <math>ab=0 \Rightarrow a=0_R \text{ or }b=0_R</math>
이면 '''정역(integral domain)'''이라고 한다. 즉, 정역은 항등원이 존재하고 [[영인자]]가 없는 가환환이다.

== 예시 ==
* \(\mathbb{Z}\)
* \(p\)가 [[소수]]일 때, \(\mathbb{Z}_p\)
* \(D\)가 정역일 때, [[다항식환]] \(D[x]\)
* 임의의 [[체 (수학)|체]]<ref>영인자는 단위원이 될 수 없기 때문이다. 혹은 나눗셈이 가능하면 소거법칙은 당연히 성립하기 때문이다.</ref>

== 성질 ==
* (소거법칙) 정역 <math>R</math>의 원소 <math>a,\;b,\;c</math>에 대해 <math>a\ne 0_R</math>이고 <math>ab=ac</math>이면 <math>b=c</math>이다.
* 정역의 [항등원이 있는 부분환]은 정역이다. 따라서 체의 [항등원이 있는 부분환]도 정역이다.
** 증명) 거의 자명한데, 정역 ''R''의 부분환 ''S''가 항등원 1<sub>''S''</sub>를 가지면 항상 1<sub>''R''</sub>=1<sub>''S''</sub>인지는 꼭 한 번 확인해야 한다. 물론 이는 위 소거법칙의 결과이다. 즉, ''S''의 등식 1<sub>''S''</sub>1<sub>''S''</sub>=1<sub>''S''</sub>와 ''R''의 등식 1<sub>''S''</sub>=1<sub>''S''</sub>1<sub>''R''</sub>을 붙여 놓고 양변에서 1<sub>''S''</sub>를 소거하면 된다.
** 한편 체의 [항등원이 있는 부분환]이 항상 체인 것은 아니다. 체의 [항등원이 있는 부분환]으로서 체에서 물려받은 연산에 관하여 다시 체가 되는 것은 부분체(subfield)라고 한다.
* 유한집합인 정역은 [[체 (수학)|체]]이다. 또, 유한차원 ''K''벡터공간인 정역도 체이다.<ref>물론 ''K''상수곱은 정역 자체의 곱셈과 compatible해야 한다.</ref>
** 증명)
**: 위 조건을 만족하는 정역 <math>R</math>의 임의의 원소 <math>a\in R</math>에 대해, 곱셈에 대한 역원 <math>a^{-1}</math>이 <math>R</math>에 존재함을 보이면 된다.
**: 이제 <math>a</math>를 왼쪽에 곱하는 함수 <math>\lambda_a : R \to R,\; x \mapsto ax</math>를 생각하면, 이 함수는 위 소거법칙 때문에 단사함수이다.
**: 그리고 위 단사함수는 곧 전단사함수가 되는데, 유한집합인 경우에는 유한집합이라 그렇고, 유한차원 ''K''벡터공간인 경우에는 위 단사함수는 ''K''단사사상인데 유한차원 벡터공간이라 그렇다.
**: 따라서 <math>1 = ab = ba</math>인 <math>b\in R</math>이 존재한다.

[[분류:환론]]

{{주석}}