로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요! == 진술 == [[함수]] <math>f:[1,\infty)\to \mathbb{R}</math>가 임의의 <math>x\in [1,\infty)</math>에 대해 <math>f(x)\ge 0</math>이고 [[단조감소]]한다고 가정하자. 이때 : <math>\sum_{n=1}^{\infty} f(n)</math> 이 [[수열의 극한|수렴]]할 필요충분조건은 [[특이적분]] : <math>\int_1^\infty f(x)dx</math> 가 수렴하는 것이다. 적분판정법을 이용할 때, <math>f(x)</math>가 단조감소하지 않고 <math>\lim_{x\to\infty}f(x)=0</math>인 조건만으로는 충분하지 않다. 예를 들어 함수 <math>f:[1,\infty)\to\mathbb{R}</math>를 : <math>f(x)=\begin{cases} -\left|\frac{n+1}{n}(x-n)\right|+\frac{1}{n},&\text{if }n-\frac{1}{n+1}\le x \le n+\frac{1}{n+1}\text{ and }n\in \mathbb{N}\\ 0,&\text{otherwise} \end{cases}</math> 으로 정의하면 <math>f(n)=\frac{1}{n}</math>이므로 <math>\sum_{n=1}^{\infty}f(n)</math>은 발산하나, : <math>\int_1^{\infty} f(x)dx = \frac{3}{4}</math> 이므로 서로의 수렴 여부가 일치하지 않는다. == 증명 == <math>f\left(n\right)=a_n</math>이라 정의하자. 모든 자연수 <math>k</math>에 대해 <math>a_{k+1} \leq f\left(x\right) \leq a_k, \forall x \in \left[k, k+1\right]</math>이다. 따라서 <math>a_{k+1} \leq \int_{k}^{k+1}f\left(x\right) \, dx \leq a_k</math>이다. 만약 <math>n \geq 2</math>이면 <math>\sum_{k=1}^{n-1}a_{k+1} \leq \sum_{k=1}^{n-1}\int_{k}^{k+1}f\left(x\right) \, dx \leq \sum_{k=1}^{n-1}a_k</math>이고, 곧 <math>S_n-a_1 \leq \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx \leq S_{n-1}</math>이다. 각 자연수 <math>k</math>에 대해 <math>a_k>0</math>이므로 수열 <math>\left\{S_n\right\}</math>는 단조 증가한다. 비슷하게, <math>f\left(x\right)>0 , x \in [1, \infty )</math>이므로 <math>\int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx</math>도 단조 증가 수열이다. 이제 급수 <math>\sum_{k=1}^{\infty}a_k</math>가 수렴한다 가정하자. 그럼 <math>\int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx</math>는 [[유계]]이고 따라서 [[단조 수렴 정리]]에 의해 수렴한다. 역으로 <math>\int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx</math>가 수렴하면 <math>\sum_{k=1}^{\infty}a_k</math>는 위로 [[유계]]이므로 마찬가지로 [[단조 수렴 정리]]에 의해 수렴한다. == 예시 == 다음 급수는 적분판정법을 이용해 수렴함을 보일 수 있다. * <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1+\varepsilon}},\;(\varepsilon >0)</math> 다음 급수는 적분판정법을 이용해 발산함을 보일 수 있다. * <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}</math> * <math>\sum_{n=1}^{\infty}\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)</math> == 근삿값 추정 == 급수 <math>\sum_{n=1}^{\infty} f(n)</math>이 적분판정법으로 수렴한다고 가정하자. 이때 :<math>\begin{align} s_n &=f(1)+f(2)+\cdots + f(n)\\ r_n &= f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+\cdots \end{align}</math> 로 정의하자. 그러면 임의의 자연수 <math>N</math>에 대해 <math>\sum_{n=1}^{\infty}f(n)=s_N+r_N</math>으로 쓸 수 있다. 한편 임의의 <math>N</math>에 대해 : <math>f(N+1) \le \int_N^{N+1} f(x) dx \le f(N)</math> 이다. 그러면 : <math>\begin{align} f(N+1)+f(N+2)+f(N+3)+\cdots&\le \int_N^{N+1} f(x)dx + \int_{N+1}^{N+2}f(x)dx + \int_{N+2}^{N+3}f(x)dx\\ &=\int_N^{\infty}f(x)dx \end{align}</math> 이고 동시에 : <math>\begin{align} f(N+1)+f(N+2)+f(N+3)+\cdots&\ge \int_{N+1}^{N+2} f(x)dx + \int_{N+2}^{N+3}f(x)dx + \int_{N+3}^{N+4}f(x)dx\\ &=\int_{N+1}^{\infty}f(x)dx \end{align}</math> 이다. 따라서 : <math>\int_{N+1}^{\infty} f(x)dx \le r_N \le \int_N^{\infty}f(x)dx</math> 이다. 수렴하는 급수 <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}</math>의 근삿값을 <math>N=100</math>으로 두고 구해보자. 그러면 : <math>\int_N^{\infty} \frac{1}{x^2} dx = \frac{1}{N}</math> 이므로 <math>\frac{1}{101} \le r_{100} \le\frac{1}{100}</math> 이다. 한편 : <math>\sum_{n=1}^{100}\frac{1}{n^2}=1.634983...</math> 이고 실제로 : <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}= 1.644934...</math> 으로, 추정값과 실제 값이 오차를 벗어나지 않음을 알 수 있다. {{수렴판정법}} [[분류:해석학]][[분류:수학 정리]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · 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