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''L/K''가 finite extension일 때 :<math> \mathrm{Aut}(L/K)=\{\sigma:L\to L| \sigma\text{ is a field isomorphism and }\sigma(x)=x\text{ for all }x\in K\}</math> 라고 정의하자. 이는 직관적으로 ''L/K''의 모든 대칭성들을 모아놓은 집합이라고 보면 된다. 이는 함수의 합성 기호로 group이 됨을 쉽게 알 수 있다. ''L/K''가 '''separable extension''이란 것은 모든 irreducible polynomial, 그러니까 인수분해가 ''K''에서 불가능한 polynomial이 ''L''에서 zero를 가지기만 한다면 ''K''의 algebraic closure에선 완벽하게 서로 다른 일차항들의 곱으로 표현된다는 것이다. 이는 대칭성의 관점에서 본다면 모든 ''L''의 원소들은 대칭성을 조금만 가지고 있는 것이 아닌 완벽한 대칭성을 가진다는 것이다. 선대칭변환을 하는데 변환 자체를 못 하면 안 되니까. 근데 여기엔 문제가 하나 있는데, 그 대칭한 결과가 다시 ''L'' 안에 들어가는가? ''L'' 안에 다시 들어가지 않는다면 많이 슬플 것이다. ''L/K''가 '''normal extension'''이란 것은 ''L''에서 zero를 갖는 모든 irreducible polynomial with ''K''-coefficient들은 ''L''에서 완벽하게 일차항들의 곱으로 인수분해 할 수 있다는 것이다. 여기에서 ''L''에서란 말은 coefficient들이 모두 ''L''의 원소란 말이다. 이는 대칭성의 관점에서 보면 대칭한 결과가 다시 ''L''안으로 들어온다는 것이다. 그렇다면 ''L/K''가 '''Galois extension'''이라는 것은 ''L/K''가 우리가 만족할 만한 모든 대칭성을 가진다는 의미를 가진다. 정확히는, ''L/K''가 separable이고 normal인 extension일 때를 말한다. 그리고 이 때 :<math> \mathrm{Gal}(L/K)=\mathrm{Aut}(L/K)</math> 라고 정의한다. 그리고 이 group을 '''Galois group'''이라고 부른다. ''L/K''가 Galois extension이라는 것은 ''n''이 ''L/K''의 degree일 때 :<math> n=|\mathrm{Aut}(L/K)| </math> 라는 것과 동치다. '''Fundamental theorem of Galois theory'''는 ''L/K''의 interminate field ''<nowiki>L'</nowiki>''하고 <math> \mathrm{Gal}(L/K)</math>의 subgroup 사이의 관계를 말해준다. <math> \mathrm{Gal}(L/K)</math>의 subgroup 하나를 ''G''라고 하면 :<math> L^{G}=\{x\in L|\sigma(x)=x\text{ for all }\sigma\in G\}</math> 라고 정의하자. 그렇다면 <math> G\mapsto L^{G}</math>는 :<math> \{\text{Subgroups of }\mathrm{Gal}(L/K)\}\longrightarrow \{\text{finite extensions }L'/K \text{ that is }L'\subset L\}</math> 를 bijection으로 만들고, 여기에다가 더해서 ''G''가 <math> \mathrm{Gal}(L/K)</math>의 normal subgroup이란 것은 <math> L^{G}/K</math>가 Galois extension이라는 것과 동치고, :<math> \mathrm{Gal}(L^{G}/K)=\mathrm{Gal}(L/K)/G</math> 가 된다. 그리고 ''G''가 normal이 아니더라도 :<math> \mathrm{deg}(L^{G}/K)=|\mathrm{Gal}(L/K)|/|G|</math> 가 된다. 우리는 이를 이용해서 <math> \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{11}</math>이 무리수임을 보이자. ''K''가 field고 ''a''가 ''K''엔 없는 원소일 때 :<math> K(a)=\left\{\frac{p(a)}{q(a)}|p,q\text{ is polynomials with coefficient in }K\right\}</math> 라고 정의하고, <math> K(a,b)</math>는 <math>K(a)(b)</math>를 뜻한다고 하자. 여기에서 <math> K(a)(b)=K(b)(a)</math>이며, 쉽게 증명할 수 있다. 그렇다면 :<math> \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{11}\in \Bbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{7},\sqrt{11})</math> 가 됨을 쉽게 알 수 있다. 그리고 오른쪽의 field를 간단하게 ''K''라고 쓴다면 <math>K/\Bbb{Q}</math>의 degree는 32가 되고, Galois extension이 된다. 그리고 그 Galois group엔 <math>\sqrt{2}</math>가 곱해진 부분의 부호를 몽땅 다 바꿔버리는 원소가 포함되어 있고, (사실 그 Galois group은 정확하게 :<math> \Bbb{Z}/2\Bbb{Z}\times \Bbb{Z}/2\Bbb{Z}\times \Bbb{Z}/2\Bbb{Z}\times \Bbb{Z}/2\Bbb{Z}\times \Bbb{Z}/2\Bbb{Z}</math> 가 된다.) 이것을 <math> \sigma_{\sqrt{2}}</math>라고 이름을 붙인다면 :<math>\sigma_{\sqrt{2}}(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{11})=-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{11}</math> 이 된다. 즉 가만히 있지 않고 움직였다! 따라서 fundamental theorem of Galois theory에 의해서 이 숫자는 무리수가 된다. 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț