로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!== 따름정리 == === 절대수렴 판정 === 비교판정법을 [[절대수렴]]하는 급수에 적용해볼 수 있다. 수열 <math>(a_n),(b_n)</math>에 대해 * <math>|a_n|\le |b_n|</math>이고 <math>\sum_{n=1}^{\infty}b_n</math>이 절대수렴하면, <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n</math>도 절대수렴한다. * <math>|b_n|\le |a_n|</math>이고 <math>\sum_{n=1}^{\infty}b_n</math>이 절대수렴하지 않으면, <math>\sum_{n=1}^{\infty}b_n</math>도 절대수렴하지 않는다. === 복소급수의 비교판정법 === 복소급수의 수렴 여부를 판정할 때 비교판정법을 사용할 수 있다. 실수열 <math>(M_n)</math>에 대해 <math>M_n\ge 0</math>이고 급수 <math>\sum_{n=1}^{\infty} M_n</math>가 수렴한다고 하자. 복소수열 <math>(z_n)</math>에 대해 <math>|z_n|\le M_n</math>이면 <math>\sum_{n=1}^{\infty} z_n</math>는 수렴한다.<ref>{{웹 인용|url=http://mathfaculty.fullerton.edu/mathews/c2003/ComplexSequenceSeriesMod.html|제목=Module for Complex Sequences and Series|저자=John H. Mathews|공저자=Russell W. Howell|확인날짜=2016-01-26}}</ref> <math>z_n = x_n + iy_n</math> (단, <math>x_n,y_n</math>은 실수)으로 두면 <math>|x_n|\le |z_n| \le M_n</math>이고 <math>|y_n| \le |z_n|\le M_n</math>이므로 비교판정법에 의해 <math>\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|</math>과 <math>\sum_{n=1}^{\infty} |y_n|</math>은 수렴한다. 따라서 <math>\sum_{n=1}^{\infty} x_n</math>과 <math>\sum_{n=1}^{\infty} y_n</math>은 절대수렴하고, 절대수렴하는 급수는 수렴하므로 <math>\sum_{n=1}^{\infty} x_n</math>과 <math>\sum_{n=1}^{\infty}y_n</math>은 수렴한다. 따라서 <math>\sum_{n=1}^{\infty}z_n</math>은 수렴한다. === 극한비교판정법 === 실수열 <math>(a_n),(b_n)</math>에 대해 <math>a_n \ge 0, b_n > 0</math>이라 하자. <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=c\;(c>0)</math>이면 <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n,\sum_{n=1}^{\infty}b_n</math>은 모두 수렴하거나 모두 발산한다. <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=c</math>이면 극한의 정의에 의해 <math>0<\varepsilon < c</math>인 임의의 <math>\varepsilon</math>에 대해 <math>N\in \mathbb{N}</math>이 존재해 임의의 자연수 <math>n > N</math>에 대해 <math>\left|\frac{a_n}{b_n}-c\right| < \varepsilon</math>이므로, 절댓값 기호를 풀면 : <math>c-\varepsilon < \frac{a_n}{b_n} < c+\varepsilon</math> 이다. <math>b_n > 0</math>이므로 : <math>(c-\varepsilon)b_n < a_n < (c+\varepsilon)b_n </math> 이다. 이제 다음 네 가지 경우를 각각 따져보면 된다. # <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n</math>이 수렴하는 경우: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{c-\varepsilon} a_n</math>은 수렴하고 <math>0< b_n < \frac{1}{c-\varepsilon}a_n</math>이므로 비교판정법에 의해 <math>\sum_{n=1}^{\infty}b_n</math>은 수렴한다. # <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n</math>이 발산하는 경우: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{c+\varepsilon} a_n</math>은 발산하고 <math>0 <\frac{1}{c+\varepsilon} a_n < b_n</math>이므로 비교판정법에 의해 <math>\sum_{n=1}^{\infty}b_n</math>은 발산한다. # <math>\sum_{n=1}^{\infty}b_n</math>이 수렴하는 경우: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(c+\varepsilon) b_n</math>은 수렴하고 <math>0< a_n < (c+\varepsilon)b_n</math>이므로 비교판정법에 의해 <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n</math>은 수렴한다. # <math>\sum_{n=1}^{\infty}b_n</math>이 발산하는 경우: <math>\sum_{n=1}^{\infty}(c-\varepsilon)b_n</math>은 발산하고 <math>0<(c-\varepsilon)b_n < a_n</math>이므로 비교판정법에 의해 <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n</math>은 발산한다. 한편 <math>\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=0</math>이고 <math>\sum_{n=1}^{\infty}b_n</math>이 수렴한다고 가정하자. 극한의 정의에 의해 임의의 <math>\varepsilon > 0</math>에 대해 <math>N\in \mathbb{N}</math>이 존재해 임의의 자연수 <math>n > N</math>에 대해 <math>\frac{a_n}{b_n} < \varepsilon </math>, 즉 <math>a_n < \varepsilon b_n </math>이다. <math>\sum_{n=1}^{\infty} b_n</math>이 수렴하면 <math>\sum_{n=1}^{\infty}\varepsilon b_n</math>도 수렴한다. 따라서 <math>0\le a_n <\varepsilon</math>이고 <math>\sum_{n=1}^{\infty}\varepsilon b_n</math>이 수렴하므로 비교판정법에 의해 <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n</math>은 수렴한다. 또 <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\infty</math>이고 <math>\sum_{n=1}^{\infty}b_n</math>이 발산한다고 가정하자. 그러면 극한의 정의에 의해 임의의 <math>M > 0</math>에 대해 <math>N\in \mathbb{N}</math>이 존재해 임의의 자연수 <math>n > N</math>에 대해 <math>\frac{a_n}{b_n} > M</math>, 즉 <math>Mb_n < a_n</math>이다. <math>\sum_{n=1}^{\infty}b_n</math>이 발산하면 <math>\sum_{n=1}^{\infty}Mb_n</math>이 발산한다. 따라서 <math>0\le Mb_n < a_n</math>이고 <math>\sum_{n=1}^{\infty}Mb_n</math>이 발산하므로 비교판정법에 의해 <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n</math>은 발산한다. === 비율비교판정법 === 실수열 <math>(a_n),(b_n)</math>에 대해 <math>a_n > 0, b_n>0</math>이고 <math>\sum_{n=1}^{\infty}b_n</math>이 수렴한다고 하자. 임의의 <math>n\in \mathbb{N}</math>에 대해 : <math>\frac{a_{n+1}}{a_n} \le \frac{b_{n+1}}{b_n}</math> 이면 <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n</math>은 수렴한다.<ref>{{웹 인용|url=http://www.westga.edu/~faucette/research/Raabe.pdf|제목=Generalized Geometric Series, The Ratio Comparison Test and Raabe’s Test|성=Faucette |이름=William M.|연도=2003년|월=12월|확인날짜=2016-01-27}}</ref> <math>\frac{a_{n+1}}{a_n} \le \frac{b_{n+1}}{b_n}</math>은 <math>a_n >0, b_n >0</math>이므로 <math>\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}\le \frac{a_n}{b_n}</math>으로 바꾸어 쓸 수 있다. 그러면 <math>\left(\frac{a_n}{b_n}\right)</math>은 단조감소한다. 한편 <math>a_n >0, b_n >0</math>이므로 항상 <math>\frac{a_n}{b_n} > 0</math>이다. 즉 0은 <math>\left(\frac{a_n}{b_n}\right)</math>의 하계이다. 따라서 단조수렴정리에 의해 <math>\left(\frac{a_n}{b_n}\right)</math>은 수렴한다. <math>\sum_{n=1}^{\infty}b_n</math>이 수렴하므로 극한비교판정법에 의해 <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n</math>은 수렴한다. {{각주}} {{수렴판정법}} [[분류:해석학]] [[분류:수학 정리]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț