질량중심

정의

질량 [math]\displaystyle{ m_1,m_2,\cdots, m_n }[/math]인 입자의 위치벡터를 [math]\displaystyle{ \mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots,\mathbf{r}_n }[/math]라고 하자. 이 입자로 구성된 계의 질량중심을 [math]\displaystyle{ \mathbf{R} }[/math]이라고 한다면,

[math]\displaystyle{ \mathbf{R}=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^n m_i \mathbf{r}_i }[/math]

이때

[math]\displaystyle{ M=\sum_{i=1}^n m_i }[/math]

이다.

만약 질량이 연속적으로 분포되어 있다면,

[math]\displaystyle{ \mathbf{R}=\frac{1}{M}\int \mathbf{r} dm }[/math]

이다. 이때 물체의 밀도를 [math]\displaystyle{ \rho(\mathbf{r}) }[/math]이라고 하면,

[math]\displaystyle{ M=\int \rho(\mathbf{r})dV }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{R}=\frac{1}{M}\int \rho(\mathbf{r})\mathbf{r} dV }[/math]

이다.

성질

• 계의 질량중심의 운동은 계의 총 질량과 동일한 질량을 가진 단일 입자가 모든 외력의 작용을 받아 운동하는 경우와 동일하고, 내력의 작용에 무관하다.

입자 α에 가해지는 외력을 [math]\displaystyle{ \mathbf{F}_\alpha^{(e)} }[/math], 내력을 [math]\displaystyle{ \mathbf{f}_\alpha }[/math]라고 하자. 그러면

[math]\displaystyle{ \mathbf{F}_\alpha=\mathbf{F}_\alpha^{(e)}+\mathbf{f}_\alpha }[/math]

이다. 입자 β가 입자 α에 가하는 힘을 [math]\displaystyle{ \mathbf{f}_{\alpha\beta} }[/math]라고 하면,

[math]\displaystyle{ \mathbf{f}_\alpha=\sum_{\beta}\mathbf{f}_{\alpha\beta} }[/math]

이다. 한편 뉴턴의 제2법칙에 의해

[math]\displaystyle{ m_\alpha \ddot{\mathbf{r}_\alpha}=\mathbf{F}_\alpha^{(e)}+\mathbf{f}_\alpha }[/math]

이고 따라서

[math]\displaystyle{ \sum_{\alpha}m_\alpha \ddot{\mathbf{r}_\alpha}=\sum_\alpha \mathbf{F}_\alpha^{(e)}+\sum_\alpha\sum_\beta\mathbf{f}_{\alpha\beta} }[/math]

이다. 그러면

[math]\displaystyle{ \sum_{\alpha}m_\alpha \ddot{\mathbf{r}_\alpha}=M\ddot{\mathbf{R}} }[/math]

이고

[math]\displaystyle{ \sum_\alpha\sum_\beta\mathbf{f}_{\alpha\beta}=\sum_{\alpha}\sum_{\beta}\mathbf{f}_{\beta\alpha}=-\sum_{\alpha}\sum_{\beta}\mathbf{f}_{\alpha\beta} }[/math]

이므로 [math]\displaystyle{ \sum_\alpha\sum_\beta\mathbf{f}_{\alpha\beta}=0 }[/math]이다. 따라서

[math]\displaystyle{ M\ddot{\mathbf{R}}=\sum_\alpha\mathbf{F}_\alpha^{(e)} }[/math]

이다.