위키독:리틀우드의 법칙 feat. 기적의 법칙

리틀우드의 법칙

Littlewood's Law

기적은 한 달마다 찾아온다.

개요

믿기 힘든 일이나 초자연적인 일을 경험했을 때 흔히 기적이라는 표현을 쓰곤 한다. 이 '기적'은 크게 두 가지 범주로 나누어 생각해볼 수 있다. 하나는 우리가 알고 있는 자연의 법칙으로 도저히 설명이 되지 않는 경우이며, 또다른 하나는 통계적으로 불가능한 사건을 말할 때 기적이라는 말을 사용한다.

리틀우드가 제시한 기적의 법칙은 물론 두번째 의미, 통계적으로 불가능한 사건을 다루는 경우에 한하며 초자연적인 현상은 논외로 친다. 어차피 법칙이라는 말 자체에 수학/과학적이라는 의미가 들어있으므로 당연한 이치이다.

리틀우드는 기적을 100만 가지 사건 중 한 번 정도의 빈도로 일어나는 사건이라고 정의했으며 이는 의외로 '평범'한 사건이라고 한다. 따지고보면 로또의 당첨확률이 약 814만 분의 1이므로 리틀우드는 '기적' 자체를 꽤 널널하게 설정했음을 알 수 있다.

큰 수의 법칙 & 정말로 큰 수의 법칙

큰 수의 법칙 (Law of Large Numbers:LLN)은 통계학의 근본을 이루는 법칙이다.

기본적인 개념은 큰 모집단에서 무작위로 뽑은 표본의 평균이 전체 모집단의 평균과 가까울 가능성이 높다는 것이다.

가장 대표적인 예로 주사위가 있다. 1부터 6까지 새겨져있는 평범한 정육면체의 주사위의 값의 평균은 3.5이다. 주사위를 처음 던질때는 평균인 3.5에 근접한 수가 아닐 수 있지만 주사위를 수백번 던지면 이 값은 결국에는 3.5로 수렴하게 된다. 즉 시행하는 수가 커지면 커질수록 평균에 점점 가까워 진다는 것이다.

정말로 큰 수의 법칙(Law of Truly Large Numbers)은 물론 큰 수의 법칙에서 파생된 것으로 표본의 크기가 충분히 크면 바보같은 일도 일어날 가능성이 있다고 하는 것이다. Persi Diaconis와 Frederick Mosteller가 만들어냈으며 리틀우드는 이 개념을 이용해서 기적의 법칙을 설명하고 있다.

리틀우드의 법칙

John Edensor Littlewood (1885. 6. 9 ~ 1977. 9. 6)

리틀우드는 영국에서 태어나 케임브리지 대학의 교수로 재직한 수학자였다. 그가 말한 기적의 법칙은 다음과 같다.

• 우리는 모두 1초에 한 번씩 특이한 것을 알아차리는 경향이 있다.

• 그리고 하루에 8시간 정도는 주변에 주의를 기울인다고 가정한다 (실제로는 이보다 많을수도, 적을수도 있다.)

• 이렇게 되면 우리 주변에서는 대략 30,000건의 사건이 발생한다. 이것은 한달에 약 100만 건으로 계산된다.

• 리틀우드는 기적을 100만 건 중 하나로 계산했으므로 한 달에 한 번쯤은 기적적인 사건을 만날 수 있다는 이야기가 된다.

어찌보면 수학적인 개념으로 기적을 설명한다는 것이 이상할 수도 있고 말장난일 수도 있지만 여하튼 수학자가 기적을 생각하는 방식은 이렇다고 한다. 이렇게 리틀우드에 따르면 우리는 '기적적인 일'을 의외로 자주 만날 수 있다는 얘기가 된다. 물론 이 기적적인 일이 어떠한 일인지는 사람마다 다르겠지만.