슈뢰딩거 방정식(Schrödinger equation)은 입자의 파동함수를 구하는 데 사용되는 편미분방정식이다.
진술[편집 | 원본 편집]
입자의 파동함수를 [math]\displaystyle{ \Psi(\mathbf{r},t) }[/math]라고 하자. 이때 [math]\displaystyle{ \mathbf{r} }[/math]은 위치벡터고, t는 시간을 나타내는 변수다. 그러면
- [math]\displaystyle{ i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi+V\Psi }[/math]
이다. 이때,
- [math]\displaystyle{ i }[/math]는 허수단위,
- [math]\displaystyle{ \hbar }[/math]는 기약 플랑크 상수,
- [math]\displaystyle{ m }[/math]는 입자의 질량,
- [math]\displaystyle{ \nabla^2 }[/math]는 라플라스 연산자,
- [math]\displaystyle{ V }[/math]는 입자의 퍼텐셜에너지
를 뜻한다. 방정식을 해밀토니언 연산자 H로 표현하면,
- [math]\displaystyle{ i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=H\Psi }[/math]
를 얻는다.
만약 파동함수가 시간에 무관(time-independent)하다면,
- [math]\displaystyle{ \Psi(\mathbf{r},t)=\psi(r)e^{-iEt/\hbar} }[/math]
이고 따라서
- [math]\displaystyle{ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi +V\psi = E\psi }[/math]
로 표현할 수 있다. 이때 E는 입자가 가지는 에너지이다.