AM-GM
개요[편집 | 원본 편집]
코시-슈바르츠 부등식과 함께 절대부등식의 가장 대표적인 예로, 중학교 때 부터 쓰이는 부등식. 줄여서 "산술기하"라고만 부르기도 한다. 영어로도 역시 줄여서 AM-GM이라 부르며, 이 역시 Arithmetic Mean-Geometric Mean을 줄인 말이다. 학교에선 변수가 두 개 일때의 경우를 증명하고, 일반적인 경우는 배우기만 하고 증명은 하지 않는다.
진술[편집 | 원본 편집]
음이 아닌 임의의 두 실수 [math]\displaystyle{ x,y }[/math]가 주어졌다고 하자. [math]\displaystyle{ x,y }[/math]의 산술평균 [math]\displaystyle{ \frac{x+y}{2} }[/math]과 기하평균 [math]\displaystyle{ \sqrt{xy} }[/math] 사이에 다음 부등식이 성립한다.
- [math]\displaystyle{ \frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy} }[/math]
등호는 [math]\displaystyle{ x=y }[/math]일 때 성립한다.
증명[편집 | 원본 편집]
- [math]\displaystyle{ \begin{align} \left(\frac{x+y}{2}\right)^2-(\sqrt{xy})^2&=\frac{x^2}{4}-\frac{xy}{2}+\frac{y^2}{4}\\ &=\left(\frac{x-y}{2}\right)^2\ge 0 \end{align} }[/math]
인데, [math]\displaystyle{ \frac{x+y}{2} }[/math]와 [math]\displaystyle{ \sqrt{xy} }[/math]는 모두 0 이상이므로,
- [math]\displaystyle{ \frac{x+y}{2}-\sqrt{xy}\ge 0 }[/math]
이다. 따라서 원하는 결론을 얻는다.
일반화[편집 | 원본 편집]
음이 아닌 n개의 실수 [math]\displaystyle{ x_1,x_2,\cdots,x_n }[/math]에 대해 다음 부등식이 성립한다.
- [math]\displaystyle{ \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\ge\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n} }[/math]
등호는 [math]\displaystyle{ x_1=x_2=\cdots=x_n }[/math]일 때 성립한다.
증명[편집 | 원본 편집]
젠센 부등식을 활용한다. 이 외에도 수학적 귀납법을 사용한 증명도 있다.
자연로그 함수는 오목함수이므로, 젠센 부등식에 의해 [math]\displaystyle{ \ln\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)\geq\frac{1}{n}\left(\ln\left(x_1\right)+\ln\left(x_2\right)+\cdots+\ln\left(x_n\right)\right)=\ln\left(x_1x_2\cdots x_n\right)^\left(\frac{1}{n}\right)=\ln\left(\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\right) }[/math]이다. 또한, 자연로그 함수는 강증가 함수이므로, [math]\displaystyle{ \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\geq\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n} }[/math]이 성립한다.
활용[편집 | 원본 편집]
어떤 식의 최솟값을 구하는데 많이 쓰인다. 예시를 들어보자.
- [math]\displaystyle{ x }[/math]가 양수일 때, [math]\displaystyle{ x+\frac{1}{x} }[/math]의 최솟값을 구하여라.
풀이는 산술기하를 쓰면 된다.
- 산술-기하평균 부등식에 의하여, [math]\displaystyle{ x+\frac{1}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2 }[/math]. 등호는 [math]\displaystyle{ x=\frac{1}{x} }[/math], 즉 [math]\displaystyle{ x=1 }[/math]일 때 성립.