곡선 비틀림

호의 길이 [math]\displaystyle{ s }[/math]로 매개화된 곡선 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \alpha''(s)\ne 0 }[/math]이면, 주법선벡터(principal normal vector) [math]\displaystyle{ \mathbf{N}(s) }[/math]가 정의되고, 이중수직벡터(binormal vector) [math]\displaystyle{ \mathbf{B} }[/math]를 다음과 같이 정의할 수 있다.

[math]\displaystyle{ \mathbf{B}(s)=\mathbf{T}(s)\times \mathbf{N}(s) }[/math]

이때 [math]\displaystyle{ \mathbf{T} }[/math]는 단위접선벡터(unit tangent vector)이다. [math]\displaystyle{ \mathbf{T} }[/math]를 미분하면

[math]\displaystyle{ \mathbf{B}'(s)=\mathbf{T}'(s)\times \mathbf{N}(s)+\mathbf{T}(s)\times \mathbf{N}'(s)=\mathbf{T}(s)\times \mathbf{N}'(s) }[/math]

이다. 그러면 [math]\displaystyle{ \mathbf{B}' }[/math]와 [math]\displaystyle{ \mathbf{T} }[/math]는 직교함을 안다. [math]\displaystyle{ \mathbf{B}' }[/math]은 [math]\displaystyle{ \mathbf{B} }[/math]와도 직교하므로, [math]\displaystyle{ \mathbf{N} }[/math]과 평행이다. 그러므로

[math]\displaystyle{ \mathbf{B}'(s)=\tau(s)\mathbf{N}(s) }[/math]

인 [math]\displaystyle{ \tau }[/math]가 존재하는데, 이때 [math]\displaystyle{ \tau }[/math]를 곡선 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]의 비틀림(torsion)이라고 한다.

일반적인 매개변수 [math]\displaystyle{ t }[/math]로 매개화된 곡선 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ t }[/math]에서의 비틀림은

[math]\displaystyle{ \tau(t)=\frac{\det(\alpha'(t),\alpha''(t),\alpha'''(t))}{\|\alpha'(t)\times\alpha''(t)\|^2} }[/math]

로 나타난다.

성질

• 곡률이 0이 아니고 비틀림이 0인 정칙곡선은 평면 위에 있다.
  • 곡률이 0인 점이 존재한다면 비틀림이 0이더라도 곡선이 평면 위에 있지 않을 수 있다. 곡선
    [math]\displaystyle{ \quad\alpha(t)=\begin{cases}(t,0,e^{-1/t^2}),&t\gt 0\\lt math\gt t,e^{-1/t^2},0),&t\lt 0\\lt math\gt 0,0,0),&t=0\end{cases} }[/math]
    의 경우 [math]\displaystyle{ t\ne 0,\pm\sqrt{\frac{2}{3}} }[/math]인 모든 점에서 비틀림이 0이지만 평면곡선이 아니다.

같이 보기

• 프레네-세레 공식