정의[편집 | 원본 편집]
좌표공간의 부분집합 [math]\displaystyle{ A }[/math]와 [math]\displaystyle{ B }[/math]가 있을 때 각 자연수 n에 대하여 함수 [math]\displaystyle{ f_n:A\to B }[/math]이 정의되어있다고 하자. 이때, 각 함수를 항으로 가지는 수열 [math]\displaystyle{ (f_n) }[/math]을 함수열이라고 한다. 균등수렴은 함수열의 수렴을 정의하는 방법으로, 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]에 대해 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]이 존재해 임의의 [math]\displaystyle{ x\in A }[/math]와 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ n \gt N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \|f_n(x) - f(x)\| \lt \varepsilon }[/math]이면 [math]\displaystyle{ (f_n) }[/math]이 [math]\displaystyle{ A }[/math]에서 [math]\displaystyle{ f }[/math]에 고른수렴(uniformly converge)한다고 한다. 고른수렴은 '평등수렴', '균등수렴', '고르게 수렴' 등의 이름으로도 불린다.
함수열 [math]\displaystyle{ (f_n) }[/math]이 [math]\displaystyle{ A }[/math]에서 [math]\displaystyle{ f }[/math]로 고른수렴하지 않을 필요충분조건은 [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]이 존재해 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ k }[/math]에 대해 점열 [math]\displaystyle{ (x_k) }[/math]와 수열 [math]\displaystyle{ (n_k) }[/math]가 존재해 [math]\displaystyle{ |f_{n_k}(x_k)-f(x_k)| \ge \varepsilon }[/math]인 것이다.
- [math]\displaystyle{ \|f\|_A=\sup\{|f(x)|:x\in A\} }[/math]
을 이용해 함수열이 고른수렴할 필요충분조건을 구할 수 있다. 함수열 [math]\displaystyle{ (f_n) }[/math]이 [math]\displaystyle{ A }[/math]에서 [math]\displaystyle{ f }[/math]로 고른수렴할 필요충분조건은 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\|f_n - f\|_A=0 }[/math]인 것이다.
점별수렴과의 비교[편집 | 원본 편집]
함수열 [math]\displaystyle{ \left( f_n \right) }[/math]의 수렴을 가장 직관적이고 자연스럽게 정의하는 방법 중 하나는 정의역의 각 점 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]에 대해서 수열 [math]\displaystyle{ \left( f_n(x_0) \right) }[/math]의 수렴성을 따져보는 것이다. 이 아이디어를 수학적으로 옮긴 것이 점별수렴(pointwise converge)이라는 개념이다. 정의역 [math]\displaystyle{ X }[/math]의 각 점 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}f_n(x_0) }[/math]가 존재할 때, 함수열 [math]\displaystyle{ \left( f_n \right) }[/math]이 점별극한함수 [math]\displaystyle{ f(x) = \lim_{n \to \infty}f_n(x_0) }[/math]로 점별수렴(pointwise converge)한다고 정의한다.
이 정의는 직관적으로 이해하기 쉽다는 장점이 있지만, 함수열의 각 함수 [math]\displaystyle{ f_n }[/math]이 가지는 좋은 성질을 점별극한함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 가진다고 보장하지 못한다는 치명적인 단점이 있다. 그러한 성질에는 대표적으로 연속성, 리만적분가능성 등이 있다. 구체적으로 말하자면, 함수열의 각 함수 [math]\displaystyle{ f_n }[/math]이 연속함수이더라도 그 점별극한함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 연속함수가 아닐 수 있다. 마찬가지로, 함수열의 각 함수가 리만적분가능하더라도 그 점별극한함수는 리만적분이 불가능할 수 있다. 위 두 명제에 대한 예시는 아래 예시 항목을 참고하자.
이러한 단점을 보완하기 위해 만들어진 정의가 이 문서의 주제인 고른수렴이다. 함수열 [math]\displaystyle{ \left( f_n \right) }[/math]이 함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]로 고른수렴한다고 하면, 함수열의 각 함수 [math]\displaystyle{ f_n }[/math]이 가지는 연속성, 리만적분가능성 등의 성질을 함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]도 가지고 있다고 보장할 수 있다.
함수열의 수렴을 정의하는 이 두 가지 방법의 근본적인 차이점은 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]이 어떤 변수에 의존하는지에 있다. 함수열 [math]\displaystyle{ \left( f_n \right) }[/math]이 함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]로 점별수렴할 때와 고른수렴할 때의 정의를 논리 기호를 사용하여 다시 써보자.
점별수렴
- [math]\displaystyle{ \forall \epsilon \gt 0, \forall x \in X, \exists N \in \mathbb{N}\ such\ that\ n\gt N \Rightarrow \|f_n(x) - f(x)\| \lt \epsilon }[/math]
고른수렴
- [math]\displaystyle{ \forall \epsilon \gt 0, \exists N \in \mathbb{N}\ such\ that\ n\gt N, x \in X \Rightarrow \|f_n(x) - f(x)\| \lt \epsilon }[/math]
위 두 정의를 잘 보면 점별수렴에서는 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]이 [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math]과 [math]\displaystyle{ x \in X }[/math]에 모두 의존하여 정해지는 반면 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]이 오직 [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math]에만 의존함을 알 수 있다. 바로 이 차이점 때문에 고른수렴은 점별수렴과 다르게 정의역의 모든 점에서 함수열이 비슷한 속도로 수렴함을 보장할 수 있다.
성질[편집 | 원본 편집]
- 함수열 [math]\displaystyle{ (f_n) }[/math]이 [math]\displaystyle{ A }[/math]에서 [math]\displaystyle{ f }[/math]로 고른수렴하고 [math]\displaystyle{ B\subseteq A }[/math]이면 [math]\displaystyle{ (f_n) }[/math]은 [math]\displaystyle{ B }[/math]에서 [math]\displaystyle{ f }[/math]로 고른수렴한다.
- 함수열 [math]\displaystyle{ (f_n),(g_n) }[/math]이 [math]\displaystyle{ A }[/math]에서 각각 [math]\displaystyle{ f,g }[/math]로 고른수렴하면, [math]\displaystyle{ (f_n+g_n) }[/math]도 [math]\displaystyle{ A }[/math]에서 [math]\displaystyle{ f+g }[/math]로 고른수렴한다.
- 함수열 [math]\displaystyle{ (f_n),(g_n) }[/math]이 [math]\displaystyle{ A }[/math]에서 각각 [math]\displaystyle{ f,g }[/math]로 고른수렴하더라도 [math]\displaystyle{ (f_ng_n) }[/math]이 [math]\displaystyle{ A }[/math]에서 반드시 고른수렴하지는 않는다.
- 고른수렴하는 함수열은 점별수렴한다.
- 연속함수열 [math]\displaystyle{ (f_n) }[/math]이 [math]\displaystyle{ A }[/math]에서 [math]\displaystyle{ f }[/math]로 고른수렴하면, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 연속함수다.
- [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]에서 리만 적분가능한 함수열 [math]\displaystyle{ (f_n) }[/math]이 [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]에서 [math]\displaystyle{ f }[/math]로 고른수렴하면, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]에서 리만 적분가능하고 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n = \int_a^b f }[/math]이다.
예시[편집 | 원본 편집]
- [math]\displaystyle{ f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R},f_n(x)=\frac{\sin(nx+3)}{\sqrt{n+1}} }[/math]
임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ N=\left\lceil\frac{1}{\varepsilon^2}+1\right\rceil }[/math]로 두면 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ n \gt N }[/math]에 대해
- [math]\displaystyle{ \left|\frac{\sin(nx+3)}{\sqrt{n+1}}\right| \le \frac{1}{\sqrt{n+1}}\lt \frac{1}{\sqrt{N+1}} \lt \frac{1}{\sqrt{N}} \lt \varepsilon }[/math]
이므로 [math]\displaystyle{ f_n }[/math]은 [math]\displaystyle{ 0 }[/math]으로 고른수렴한다.
- [math]\displaystyle{ f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R},f(x)=\frac{x}{n} }[/math]
임의의 [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{R} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{x}{n}=0 }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ f_n(x) }[/math]는 [math]\displaystyle{ 0 }[/math]에 점별수렴함을 알 수 있다. 그러나 [math]\displaystyle{ \varepsilon = 1 }[/math], [math]\displaystyle{ n_k = k }[/math], [math]\displaystyle{ x_k = k }[/math]로 두면 [math]\displaystyle{ |f_{n_k}(x_k)-f(x_k)|=|1-0|\ge 1 }[/math]이므로 고른수렴하지 않는다.
- [math]\displaystyle{ f_n:[0,1]\to\mathbb{R},\; f(x)=x^n }[/math]
[math]\displaystyle{ x\in[0,1) }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}x^n =0 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}1^n = 1 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ (f_n) }[/math]는
- [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 0,&\text{if }x\in[0,1)\\ 1,&\text{if }x=1 \end{cases} }[/math]
에 수렴한다. 그러나 [math]\displaystyle{ \varepsilon=\frac{1}{4} }[/math], [math]\displaystyle{ n_k=k+1 }[/math], [math]\displaystyle{ x_k = 1-\frac{1}{k+1} }[/math]로 두면 [math]\displaystyle{ |f_{n_k}(x_k)-f(x_k)|=\left(1-\frac{1}{k+1}\right)^{k+1}\ge \frac{1}{4} }[/math]이므로 고른수렴하지 않는다.
- [math]\displaystyle{ f_n:[0,\infty)\to\mathbb{R},\;f(x)=\frac{nx}{1+nx^2} }[/math]
임의의 [math]\displaystyle{ x \gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{nx}{1+nx^2}=\frac{1}{x} }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}0=0 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ f_n }[/math]은
- [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 0,&\text{if }x=0\\ \frac{1}{x},&\text{if }x\gt 0 \end{cases} }[/math]
에 수렴한다. 그러나 [math]\displaystyle{ \varepsilon=\frac{1}{2} }[/math], [math]\displaystyle{ n_k=k }[/math], [math]\displaystyle{ x_k = \frac{1}{k} }[/math]로 두면 [math]\displaystyle{ |f_{n_k}(x_k)-f(x_k)| = \left|\frac{k\cdot \frac{1}{k}}{1+k\cdot \frac{1}{k^2}}-k\right|=\left|\frac{k}{k+1}-k\right|=\frac{k^2}{k+1}\ge \frac{1}{2}=\varepsilon }[/math]이므로 고른수렴하지 않는다.